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数学概念是数学知识的“根”，是进行逻辑思维的第一要素。一切数学规则的研究、表达与应用都离不开数学概念。因此在小学数学教学中，教师应准确揭示概念的内涵与外延，帮助学生逐步形成正确的数学概念。下面，笔者以“周长的认识”教学为例，从三个方面谈谈如何进行有效的概念教学。
一、概念形成前沟通知识联系——凸显本质
概念学习涉及一个多级序列，在给概念下定义前，至少经历下面几个阶段：首先，刺激的特征，作为概念的实例和非实例一起呈现给学习者（具体水平）;下一阶段，学习者识别实例和非实例（识别水平）;第三阶段，使刺激的特征有所变化，仍然和非实例同时呈现（分类水平）。从“具体水平”到“识别水平”，再到“分类水平”，都是概念形成前的几个重要阶段。为最后的规范水平阶段，即从众多具体的实例（概念的外延）与非实例中，识别该实例与非实例的异同，特别是寻找实例与非实例之间的共同属性，给“概念下定义”奠定认知前提。这个过程，沟通知识间的联系，凸显本质属性就成了概念教学的重中之重。
例如，人教版三上“周长”一课，笔者在教学时通过创设小蚂蚁爬树叶的情境，将许多生活语言如“一圈”“从哪里出发又回到哪里”融入其中，以充分体现“周长”概念核心要素（封闭、一周、起点和终点重合）的生活原型，为后面转化为数学问题“一周是什么”提供了现实背景。
接着，进入感知“一周”的体验环节，（1）出示如教材例题呈现的各种实物图（树叶、钟表、书本）和平面图形（长方形、正方形、三角形、五角星等），再增加一两个不是封闭的图形（非实例）。让学生感知实物图和平面图形的“一周”，从中理解只有封闭的图形才有“一周”的概念。此时，笔者还不急于告诉学生“封闭图形一周的长度就是它的周长”。（2）引导思考并测量“一周”的长度。要求学生从中任选一个图形，想办法测量出图形一周的长度，引申测量如腰围、胸围等的实际长度。（3）感悟“一周”的长度。学生汇报测量方法和结果，如先用绳子绕着树叶一周，再测量这段绳子的长度;用尺子量出三角形三条边的长度，再把它们相加就是这个三角形一周的长度。（4）展示观察。学生反馈后，在各个图形的下方展示相应的测量结果。
最后，笔者引导学生思考并总结发现：无论是曲线图形，还是直边图形，图形一周的长度就是绕曲线一周后展开的线段的长度，封闭图形各条边的长度总和是它的周长。在这个过程中，除了揭示概念，更重要的是帮助学生理解概念的本质属性，帮助学生理解周长概念的本质是线段单位长度的相加。
二、概念建立后加强知识比较——明确外延
突出共性、形成概念是对概念学习的初步认识，要真正理解掌握概念，不仅仅是概括内涵还要能区分外延。为了培养学生的识别能力，防止学生把概念的外延扩大（把非实例归为实例）和把概念的外延缩小（把实例归为非实例），在呈現定义之后，教师还应列举各种例子，特别是要呈现一些与正面实例明显不同的反例，以更好地加强知识间的比较。在凸显概念内涵的同时，明确概念的外延也是概念教学的任务之一。
例如，在给“周长”下定义后，为强化对周长内涵的认识，同时也为区分周长的外延，此时，教学进入到下面的环节。
（1）说一说。要求学生说出实物图及平面图形的周长各指什么。引导梳理：树叶一周的长度就是树叶的周长;三角形三条边的长度之和就是三角形的周长;长方形四条边长度之和就是它的周长;五角星的周长就是五角星一周10条边线的长度之和。
（2）涂一涂。要求学生给封闭图形的周长涂色。此时，笔者给出的图形仍然是实例和非实例一起呈现，不同的是比起例题出现过的实例，其范围更大，也更复杂些，如曲线图形半圆图、心形图、五边形、不规则图形，包括没有封闭的图形等。此目的是检验学生对周长概念内涵的理解，更重要的是扩展周长的外延——不管是什么样的图形，只要是一周的长度，都可以说是图形的周长。
（3）辨一辨。要求学生辨认出涂色部分是否是图形的周长，这些图形有实例，也有反例，反例如一个涂色的非封闭图形，一个涂色没有涂完一周的长方形，还有一个涂色部分指的是面积而不是周长。通过实例与反例的共同呈现，引导辨析，学生就能够进一步明确：不是封闭图形，即使全部边相加的和也不叫周长;就算是封闭图形，只要不是全部边的总和，自然也不是它的周长;全部涂满颜色，表示的是面积的大小，但不是一周的长度，所以，也不是它的周长。
上述三环节层层递进，通过对各种实例与非实例、实例与反例的比较，逐步深化学生对周长内涵理解的同时，其对周长概念的外延也有了清晰的认识。
三、概念应用时回归现实情境——深化价值
数学知识来源于现实，又回到现实中得到检验、解释和应用。因此，在教学时，一旦概念建立后，除了加强知识间的比较外，还要及时回归现实，寻找生活原型，引导学生在不同情境中应用概念解决实际问题，并进一步深化对概念的认识。
例如，应用“周长”解决现实问题阶段，笔者设计了如下三个问题。
（1）试一试。一条小路环绕着一个小公园，妈妈绕着公园走了一周，一共走了多少米？（如图1）
（2）比一比。小蚂蚁分别绕着图形走一周，它们走的路线一样吗？（如图2）
（3）想一想。第（2）题中的这些图形都是由长方形剪拼得到的吗？它们的周长又有什么联系？
同样的问题解决过程，蕴含的层次不同，其中的“比一比”和“想一想”是对周长概念的深化和提升，目的是要让学生体会出无论图形如何变换，只要记住：周长就是一周的长度，就是各个边的长度之和。当然，计算过程需要灵活应变，善于发现图形之间的关系，提升解决问题的效率。
总之，学生在进行概念学习时，大致要经历三个不同的阶段：首先，对日常生活中已有的经验和教师呈现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来;其次，把新获得的概念纳入已有的概念系统，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系;最后，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在更高层次上的抽象概括过程。
（作者单位：福建省厦门第二实验小学）
一、概念形成前沟通知识联系——凸显本质
概念学习涉及一个多级序列，在给概念下定义前，至少经历下面几个阶段：首先，刺激的特征，作为概念的实例和非实例一起呈现给学习者（具体水平）;下一阶段，学习者识别实例和非实例（识别水平）;第三阶段，使刺激的特征有所变化，仍然和非实例同时呈现（分类水平）。从“具体水平”到“识别水平”，再到“分类水平”，都是概念形成前的几个重要阶段。为最后的规范水平阶段，即从众多具体的实例（概念的外延）与非实例中，识别该实例与非实例的异同，特别是寻找实例与非实例之间的共同属性，给“概念下定义”奠定认知前提。这个过程，沟通知识间的联系，凸显本质属性就成了概念教学的重中之重。
例如，人教版三上“周长”一课，笔者在教学时通过创设小蚂蚁爬树叶的情境，将许多生活语言如“一圈”“从哪里出发又回到哪里”融入其中，以充分体现“周长”概念核心要素（封闭、一周、起点和终点重合）的生活原型，为后面转化为数学问题“一周是什么”提供了现实背景。
接着，进入感知“一周”的体验环节，（1）出示如教材例题呈现的各种实物图（树叶、钟表、书本）和平面图形（长方形、正方形、三角形、五角星等），再增加一两个不是封闭的图形（非实例）。让学生感知实物图和平面图形的“一周”，从中理解只有封闭的图形才有“一周”的概念。此时，笔者还不急于告诉学生“封闭图形一周的长度就是它的周长”。（2）引导思考并测量“一周”的长度。要求学生从中任选一个图形，想办法测量出图形一周的长度，引申测量如腰围、胸围等的实际长度。（3）感悟“一周”的长度。学生汇报测量方法和结果，如先用绳子绕着树叶一周，再测量这段绳子的长度;用尺子量出三角形三条边的长度，再把它们相加就是这个三角形一周的长度。（4）展示观察。学生反馈后，在各个图形的下方展示相应的测量结果。
最后，笔者引导学生思考并总结发现：无论是曲线图形，还是直边图形，图形一周的长度就是绕曲线一周后展开的线段的长度，封闭图形各条边的长度总和是它的周长。在这个过程中，除了揭示概念，更重要的是帮助学生理解概念的本质属性，帮助学生理解周长概念的本质是线段单位长度的相加。
二、概念建立后加强知识比较——明确外延
突出共性、形成概念是对概念学习的初步认识，要真正理解掌握概念，不仅仅是概括内涵还要能区分外延。为了培养学生的识别能力，防止学生把概念的外延扩大（把非实例归为实例）和把概念的外延缩小（把实例归为非实例），在呈現定义之后，教师还应列举各种例子，特别是要呈现一些与正面实例明显不同的反例，以更好地加强知识间的比较。在凸显概念内涵的同时，明确概念的外延也是概念教学的任务之一。
例如，在给“周长”下定义后，为强化对周长内涵的认识，同时也为区分周长的外延，此时，教学进入到下面的环节。
（1）说一说。要求学生说出实物图及平面图形的周长各指什么。引导梳理：树叶一周的长度就是树叶的周长;三角形三条边的长度之和就是三角形的周长;长方形四条边长度之和就是它的周长;五角星的周长就是五角星一周10条边线的长度之和。
（2）涂一涂。要求学生给封闭图形的周长涂色。此时，笔者给出的图形仍然是实例和非实例一起呈现，不同的是比起例题出现过的实例，其范围更大，也更复杂些，如曲线图形半圆图、心形图、五边形、不规则图形，包括没有封闭的图形等。此目的是检验学生对周长概念内涵的理解，更重要的是扩展周长的外延——不管是什么样的图形，只要是一周的长度，都可以说是图形的周长。
（3）辨一辨。要求学生辨认出涂色部分是否是图形的周长，这些图形有实例，也有反例，反例如一个涂色的非封闭图形，一个涂色没有涂完一周的长方形，还有一个涂色部分指的是面积而不是周长。通过实例与反例的共同呈现，引导辨析，学生就能够进一步明确：不是封闭图形，即使全部边相加的和也不叫周长;就算是封闭图形，只要不是全部边的总和，自然也不是它的周长;全部涂满颜色，表示的是面积的大小，但不是一周的长度，所以，也不是它的周长。
上述三环节层层递进，通过对各种实例与非实例、实例与反例的比较，逐步深化学生对周长内涵理解的同时，其对周长概念的外延也有了清晰的认识。
三、概念应用时回归现实情境——深化价值
数学知识来源于现实，又回到现实中得到检验、解释和应用。因此，在教学时，一旦概念建立后，除了加强知识间的比较外，还要及时回归现实，寻找生活原型，引导学生在不同情境中应用概念解决实际问题，并进一步深化对概念的认识。
例如，应用“周长”解决现实问题阶段，笔者设计了如下三个问题。
（1）试一试。一条小路环绕着一个小公园，妈妈绕着公园走了一周，一共走了多少米？（如图1）
（2）比一比。小蚂蚁分别绕着图形走一周，它们走的路线一样吗？（如图2）
（3）想一想。第（2）题中的这些图形都是由长方形剪拼得到的吗？它们的周长又有什么联系？
同样的问题解决过程，蕴含的层次不同，其中的“比一比”和“想一想”是对周长概念的深化和提升，目的是要让学生体会出无论图形如何变换，只要记住：周长就是一周的长度，就是各个边的长度之和。当然，计算过程需要灵活应变，善于发现图形之间的关系，提升解决问题的效率。
总之，学生在进行概念学习时，大致要经历三个不同的阶段：首先，对日常生活中已有的经验和教师呈现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来;其次，把新获得的概念纳入已有的概念系统，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系;最后，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在更高层次上的抽象概括过程。
（作者单位：福建省厦门第二实验小学）