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随着新课程的逐步深入，新理念、新教材、新评价强烈地冲击着数学教育工作者，并点燃了他们的激情，激活了他们的思维，开阔了他们的眼界，也迎来了中学数学教育研究的新局面．在课改的实践中，新理念的实践提出了更多的新课题，期盼着通过科学研究、理性的思考来作出回答．本文是笔者在高中新课程的实践中，对高三数学复习备考过程中遇到的一些矛盾问题进行一些探讨．
一、“新课程知识面宽”与“高考考查面窄”的矛盾
高中数学新课程分为必修和选修两大部分．在必修系列中，数学内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何、平面解析几何初步等，还增加了向量、算法、概率、统计等内容．
选修系列1和系列2分别是指定的文科系列和理科系列，内容包括常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数、导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；系列2还安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容．选修系列4包括几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等10个专题．
从《普通高中数学课程标准（实验）》的内容安排可以看出，高中数学新课程中的必修系列和指定选修的系列1或系列2的知识内容范围远远超过了旧课程的知识内容范围，高中新课程的知识内容实际上是“自己未动、兼收两头”——在不减少旧课程内容的基础上还吸收了初中删减的部分知识和大学“下放”的现代数学知识．由此可见，新课程的内容设计的目的是“要求在知识上面面俱到”．在旧课程下的高考知识点共126个，每年高考命题的知识点覆盖率大约80%左右．在新课程下，由于高中数学的知识点大量增加，但高考的题型和试题容量没有发生改变，而且由于高等教育向“大众化”方向迅猛发展，参加高考的考生人数逐年攀升，高考试题的综合程度也有降低趋势的要求．因此，新课程中大量的可考查知识点与高考有限的题量存在巨大的反差．
选修系列4如何在高中教学中实施都已经面临着诸多的现实困难，要将其拉入高考范围实行考查更是困难重重．如广东考试中心规定理科考生必须在选修4-1、选修4-4、选修4-5三个专题中任选2个专题作答，每个专题在高考中各只考查1道填空题．也就说学生为了应付一道填空题的考查而要学习一个专题，以如此蜻蜓点水的方式去象征性地表示选修系列4在高中教学中得到了实施，这也足以说明新课程设计有脱离教育现实之嫌，同时也直接加剧了“新课程知识面宽”与“高考考查面窄”的现实矛盾．
二、“新课程浅知识点”与“高考考点深考查”的矛盾
《普通高中数学课程标准（实验）》明文指出：在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求．由此可以看出，新课程的内容要求是“在知识上面面俱到，在能力上有所降低”．下表是旧课程内容的课时数与新课程对应内容的课时数的比较情况：
比较上表中的10个章节：除数列、平面向量的课时数相同，函数的课时数略有增加外，其它章节的课时数一律是减少．函数的课时数略有增加的原因是旧课程中删除的知识点，如幂函数、指数方程和指数不等式、对数方程和对数不等式等知识又重新纳入了函数的范围，因此课时数略有增加．剩下的7章节共减少了44课时（按新课程要求就是11周的课程时间，相当于一个学期的时间），这一学期的时间主要是用于新增加的知识点的教学．这也足以说明新课程所设计的知识点的范围远远超过了旧课程的范围．新课程在内容上要求“知识点面面俱到，能力上有所降低”，但实际上从2007年开始的新课程高考，高考试题在能力上的要求却并没有降低．如2007年广东高考理科数学第20题：
已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a． 如果函数y= f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．
乍一看，本题是考查一元二次函数的零点问题．按照常规思路考虑应该考虑二次函数f（x）：而二次函数f（x）的二次项系数2a没有明确正负、其对称轴x=-也是变动的，唯独只有定义域是固定的．因此必须在确定二次函数开口方向的情况下，再根据对称轴来讨论函数的零点问题．但此法相当繁琐复杂，其难度远远超出了课程标准的要求．
解答本题的常用方法二：因为方程2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有根，即可得到a=．于是，本题就转化为求函数g（x）=在[-1，-）∪（-，）∪（，1]上的值域．在必修1中，求函数的值域的问题仅限于一元一次、一元二次函数等基本问题． 而求函数g（x）=的值域超越了新课程必修内容的要求；若采用选修2-2中“导数及其应用”知识求解，分式形式的复合函数求导足以让许多考生望题兴叹！
如2008年广东高考理科数学第21题：设p，q为实数，α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3,4…）．（1）证明：α+β=p，αβ=q；（2）求数列{xn}的通项公式；（3）若p=1，q=，求{xn}的前n项和Sn．
第二问是本题考查的重点：求数列{xn}的通项公式．而题目条件xn=pxn-1-qxn-2显然是数列{xn}的递推公式．在必修5“数列”整个章节中没有出现“递推公式”等相关内容，用递推公式求通项是对数列知识“深挖洞、广积粮”的结果．
又如2009年广东高考理科数学第21题：已知曲线Cn：x2-2nx+y2=0． 从点P（-1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）．（１）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（２）证明：x1•x3•x5…x2n-1< 第二问是本题设置的难点，重点考查不等式的证明方法．从旧课程内容的课时数与新课程对应内容的课时数的比较表可以看出，“不等式”从旧课程原来的22课时减少到16课时，不等式证明仅仅在新课程的选修4-5中有所提及．要证明x1•x3•x5…x2n-1<，即证明：••…<，这需要利用放缩法或数学归纳法进行证明；要证明 本题第二问的不等式证明，其证明内容与方法与1998年全国高考理科第25题完全雷同．
题目：已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（Ⅰ）求数列{bn}的通项bn，（Ⅱ）设数列{an}的通项（其中a>0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与的大小，并证明你的结论．
本题第（Ⅱ）问要比较Sn与的大小，实际上就是比较••…<的大小，这与2009年要证明的不等式••…<并无二致．但2009年广东高考理科数学第21题的综合程度却远远高于1998年全国高考理科第25题．
从三年的新课程高考试题以及2009年的压轴题与1998年的压轴题的比较可以看出，新课程下的数学高考试题对能力的考查并没有随新课程的要求而“控制难度和复杂程度”．可见，“新课程浅知识点”与“高考考点深考查”的矛盾自2007年第一次实行新课程高考以来就一直困扰着高中数学教学．
三、“新课程的三维目标”与“高考考查单一形式”的矛盾
《普通高中数学课程标准（实验）》指出，新课程的三维目标概括来说就是知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观．为了实现“过程与方法，情感、态度与价值观”的目标，新课程特别要求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程．在不同形式的活动中培养学生提出问题、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力．为此，高中数学课程还特别提出了实现“过程与方法，情感、态度和价值观”的目标的两种方法：数学探究、数学建模．高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动．
数学探究、数学建模是高中数学课程中引入的新的学习方式．数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程．这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明．数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
但迄今为止，我国的高考形式仍然主要是书面形式．“知识与技能”的掌握程度通过书面形式的考查基本可以实现，但“过程与方法，情感、态度与价值观”如何通过书面形式来展现呢？至今仍是一个没有完美解决的课题．
查阅三年的新课程下的高考试题，具有探究性质的试题少之又少．仅有2007年高考中有两道带有探究性质的试题．如果说这两道试题是数学探究的考查尝试，那么数学建模又如何在高考试卷中考查呢？面对新课程的三维目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，高考单一的书面形式已经无法承担检测高考考生的重任，无法实现对新课程的三维目标进行全面考查．数学建模的过程和方法要在规定的时间内无法通过笔和纸张来表达；火热的情感、端正的态度和正确的价值观也无法通过冰冷的纸面来描述！
新课程的内容体现了时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同的学生有机会学习不同的数学，在数学上获得不同的发展．新课程内容在“知识点上面面俱到”使高考的难点内容的不确定性正在加大，这些新课程多知识点，高考试题难度大，高考考查的不确定因素增加等原因都需要师生付出大量的时间和心血．直到今天，书面高考仍是新课程效果检测的主要形式，书面高考限时限量、命题形式单一等特点均与新课程内容“地大物博”之间天然存在着不可调和的矛盾．
诚然，任何改革都不是一蹴而就的．新课程改革已经扬帆启航，我们应该在吸收多年的教育教学改革经验、借鉴外国课改的成功经验的基础上重新审视课程改革的各项指标，权衡利弊，综合考虑，从课程的设置、内容的安排，直至教育教学效果的评估等问题都进行科学研究和论证，有计划地、有目的地完善数学教育课程．
责任编辑罗峰
一、“新课程知识面宽”与“高考考查面窄”的矛盾
高中数学新课程分为必修和选修两大部分．在必修系列中，数学内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何、平面解析几何初步等，还增加了向量、算法、概率、统计等内容．
选修系列1和系列2分别是指定的文科系列和理科系列，内容包括常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数、导数及其应用、圆锥曲线与方程、推理与证明；系列2还安排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量及其分布等内容．选修系列4包括几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等10个专题．
从《普通高中数学课程标准（实验）》的内容安排可以看出，高中数学新课程中的必修系列和指定选修的系列1或系列2的知识内容范围远远超过了旧课程的知识内容范围，高中新课程的知识内容实际上是“自己未动、兼收两头”——在不减少旧课程内容的基础上还吸收了初中删减的部分知识和大学“下放”的现代数学知识．由此可见，新课程的内容设计的目的是“要求在知识上面面俱到”．在旧课程下的高考知识点共126个，每年高考命题的知识点覆盖率大约80%左右．在新课程下，由于高中数学的知识点大量增加，但高考的题型和试题容量没有发生改变，而且由于高等教育向“大众化”方向迅猛发展，参加高考的考生人数逐年攀升，高考试题的综合程度也有降低趋势的要求．因此，新课程中大量的可考查知识点与高考有限的题量存在巨大的反差．
选修系列4如何在高中教学中实施都已经面临着诸多的现实困难，要将其拉入高考范围实行考查更是困难重重．如广东考试中心规定理科考生必须在选修4-1、选修4-4、选修4-5三个专题中任选2个专题作答，每个专题在高考中各只考查1道填空题．也就说学生为了应付一道填空题的考查而要学习一个专题，以如此蜻蜓点水的方式去象征性地表示选修系列4在高中教学中得到了实施，这也足以说明新课程设计有脱离教育现实之嫌，同时也直接加剧了“新课程知识面宽”与“高考考查面窄”的现实矛盾．
二、“新课程浅知识点”与“高考考点深考查”的矛盾
《普通高中数学课程标准（实验）》明文指出：在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求．由此可以看出，新课程的内容要求是“在知识上面面俱到，在能力上有所降低”．下表是旧课程内容的课时数与新课程对应内容的课时数的比较情况：
比较上表中的10个章节：除数列、平面向量的课时数相同，函数的课时数略有增加外，其它章节的课时数一律是减少．函数的课时数略有增加的原因是旧课程中删除的知识点，如幂函数、指数方程和指数不等式、对数方程和对数不等式等知识又重新纳入了函数的范围，因此课时数略有增加．剩下的7章节共减少了44课时（按新课程要求就是11周的课程时间，相当于一个学期的时间），这一学期的时间主要是用于新增加的知识点的教学．这也足以说明新课程所设计的知识点的范围远远超过了旧课程的范围．新课程在内容上要求“知识点面面俱到，能力上有所降低”，但实际上从2007年开始的新课程高考，高考试题在能力上的要求却并没有降低．如2007年广东高考理科数学第20题：
已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a． 如果函数y= f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．
乍一看，本题是考查一元二次函数的零点问题．按照常规思路考虑应该考虑二次函数f（x）：而二次函数f（x）的二次项系数2a没有明确正负、其对称轴x=-也是变动的，唯独只有定义域是固定的．因此必须在确定二次函数开口方向的情况下，再根据对称轴来讨论函数的零点问题．但此法相当繁琐复杂，其难度远远超出了课程标准的要求．
解答本题的常用方法二：因为方程2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有根，即可得到a=．于是，本题就转化为求函数g（x）=在[-1，-）∪（-，）∪（，1]上的值域．在必修1中，求函数的值域的问题仅限于一元一次、一元二次函数等基本问题． 而求函数g（x）=的值域超越了新课程必修内容的要求；若采用选修2-2中“导数及其应用”知识求解，分式形式的复合函数求导足以让许多考生望题兴叹！
如2008年广东高考理科数学第21题：设p，q为实数，α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3,4…）．（1）证明：α+β=p，αβ=q；（2）求数列{xn}的通项公式；（3）若p=1，q=，求{xn}的前n项和Sn．
第二问是本题考查的重点：求数列{xn}的通项公式．而题目条件xn=pxn-1-qxn-2显然是数列{xn}的递推公式．在必修5“数列”整个章节中没有出现“递推公式”等相关内容，用递推公式求通项是对数列知识“深挖洞、广积粮”的结果．
又如2009年广东高考理科数学第21题：已知曲线Cn：x2-2nx+y2=0． 从点P（-1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）．（１）求数列{xn}与{yn}的通项公式；（２）证明：x1•x3•x5…x2n-1<
题目：已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（Ⅰ）求数列{bn}的通项bn，（Ⅱ）设数列{an}的通项（其中a>0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与的大小，并证明你的结论．
本题第（Ⅱ）问要比较Sn与的大小，实际上就是比较••…<的大小，这与2009年要证明的不等式••…<并无二致．但2009年广东高考理科数学第21题的综合程度却远远高于1998年全国高考理科第25题．
从三年的新课程高考试题以及2009年的压轴题与1998年的压轴题的比较可以看出，新课程下的数学高考试题对能力的考查并没有随新课程的要求而“控制难度和复杂程度”．可见，“新课程浅知识点”与“高考考点深考查”的矛盾自2007年第一次实行新课程高考以来就一直困扰着高中数学教学．
三、“新课程的三维目标”与“高考考查单一形式”的矛盾
《普通高中数学课程标准（实验）》指出，新课程的三维目标概括来说就是知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观．为了实现“过程与方法，情感、态度与价值观”的目标，新课程特别要求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程．在不同形式的活动中培养学生提出问题、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力．为此，高中数学课程还特别提出了实现“过程与方法，情感、态度和价值观”的目标的两种方法：数学探究、数学建模．高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动．
数学探究、数学建模是高中数学课程中引入的新的学习方式．数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程．这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明．数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
但迄今为止，我国的高考形式仍然主要是书面形式．“知识与技能”的掌握程度通过书面形式的考查基本可以实现，但“过程与方法，情感、态度与价值观”如何通过书面形式来展现呢？至今仍是一个没有完美解决的课题．
查阅三年的新课程下的高考试题，具有探究性质的试题少之又少．仅有2007年高考中有两道带有探究性质的试题．如果说这两道试题是数学探究的考查尝试，那么数学建模又如何在高考试卷中考查呢？面对新课程的三维目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，高考单一的书面形式已经无法承担检测高考考生的重任，无法实现对新课程的三维目标进行全面考查．数学建模的过程和方法要在规定的时间内无法通过笔和纸张来表达；火热的情感、端正的态度和正确的价值观也无法通过冰冷的纸面来描述！
新课程的内容体现了时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同的学生有机会学习不同的数学，在数学上获得不同的发展．新课程内容在“知识点上面面俱到”使高考的难点内容的不确定性正在加大，这些新课程多知识点，高考试题难度大，高考考查的不确定因素增加等原因都需要师生付出大量的时间和心血．直到今天，书面高考仍是新课程效果检测的主要形式，书面高考限时限量、命题形式单一等特点均与新课程内容“地大物博”之间天然存在着不可调和的矛盾．
诚然，任何改革都不是一蹴而就的．新课程改革已经扬帆启航，我们应该在吸收多年的教育教学改革经验、借鉴外国课改的成功经验的基础上重新审视课程改革的各项指标，权衡利弊，综合考虑，从课程的设置、内容的安排，直至教育教学效果的评估等问题都进行科学研究和论证，有计划地、有目的地完善数学教育课程．
责任编辑罗峰