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对于交换的C^＊-代数，它的每一个遗传子代数（或单侧闭理想）都是它的双侧闭理想．反之，利用C^＊-代数A上的纯态与A中极大左理想的对应关系，得到了：若A中的每一个遗传子代数（或单侧闭理想）都是它的双侧闭理想，则A一定是交换的．因此在非交换的C^＊-代数中必有一个非闭理想的遗传子代数．利用文中的主要结论，还得到了判断C^＊-代数A是交换一个简单条件，即A是交换的当且仅当对A中的任何两个正元a，b存在a’∈A使得ab=ba’．