〔关键词〕 辅助圆；隐含条件；角平分线；代数式
　　〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 Ｃ
　　〔文章编号〕 1004—0463（2008）07（Ａ）—0058—０１
　　
　　近几年来，数学课程的内容、思路和理念都发生了一定的变化，所以数学课堂教学内容必然要适应这些变化，以应对符合这些变化的中考.
　　下面，笔者就中考中的一些几何题来说明其解题思路的变化.这类几何题，所给条件和欲求的结论从表面上来看和圆没有多大关系，但是，放宽视野，不难发现，引入辅助圆后常常能达到化繁为简、化难为易的目的.
　　求线段长
　　例1：如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=a，BC=b，求BD的长.
　　分析：若局限于所给图形去思考，较难解决，但题设中有AB=AC=AD这一条件，则可以考虑以A为圆心，AB为半径作圆，这时解题思路马上豁然开朗.
　　解：以A为圆心，AB为半径作圆，延长BA交⊙A于E，连接DE.
　　
　　例2：如图2，△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC<2AB.
　　分析：欲证AC<2AB，若直接证，无从下手，但考虑到∠B=2∠C，根据圆中有“等弧对等弦”这一结论，不妨引入辅助圆，构造出∠B的平分线及相应弧所对应的弦来证明.
　　证明：作△ABC的外接圆，并作∠B的平分线交外接圆于D，连接AD、CD.
　　
　　例3：如图3，点D为等边△ABC外一点，且与点A均在BC同侧，AD=BC.求∠BDC的度数.
　　分析：题目中△ABC为等边三角形，又由2AB=AD，可考虑利用圆的知识来解决.
　　解：以A为圆心，AB为半径作⊙A.
　　∵ AD=BC，BC=AC=AB，
　　∴ AD=AC=AB.
　　∵点D、C在⊙A上，
　　
　　例4：如图4，AB=AC=AD，∠BAC=k∠CAD，则∠BDC是∠DBC的（）倍.
　　A. kB. 2kC. 3k
　　分析：此类题一般用三角形内角和定理和等腰三角形的性质列方程来求解，但注意到已知条件AB=AC=AD，可联系到B、C、D均在以A为圆心，以AB为半径的圆上，利用圆的有关性质来求解，比一般方法来解要简便得多.
　　解：以A为圆心，以AB为半径作圆.
　　
　　∵∠BAC=k∠CAD，∴∠BDC=k∠DBC.
　　求代数式的值
　　例5：如图5，在△ABC中，AB=AC=2.BC边上有100个不同的点P1，P2，……P100，记作mi=APi2+BPi·CPi（i=1，2，……100）.求m1+m2+…m100的值.
　　分析：由题设AB=AC，可知B、C在以点A为圆心，以AB为半径的圆上，作出⊙A后，在弦BC上任取一点PK，使直线APK分别交⊙A于E、F，由相交弦定理得：BPK·PKC=FPK·PKE=（2+APK）（2-APK）=4-APK2，
　　∴ APK2+BPK·PKC=4，又因PK为BC上的任一点，故mi=APi2+BPi·CPi=4（i=1，2，……100），
　　∴ m1+m2+……m100=4×100=400.
　　总结：通过对以上五大类几何题的详细分析解答，不难发现，无论是在“有关线段的求解证明”、“角度的求解证明”还是“求代数式的值”中，一些看似复杂又无从下手的问题，通过结合题设条件，大胆、巧妙地引入辅助圆后，可以使解题思路豁然开朗.
　　
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