论文部分内容阅读
在高考中，对二项式定理考查往往既着眼于小处，又注重二项式定理的应用.基于此复习二项式定理，我们必须抓住其基本题型，并领会解题过程中体现的思想方法.
一、基本题型
基本题型1求二项展开式中指定项或指定项的系数
例1已知在（3x-123x）n的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n;
（2）求含x2的项的系数;
（3）求展开式中所有的有理项.
解析：（1）通项公式为
Tr+1=Crnxn-r3（-12）rx-r3
=Crn（-12）rxn-2r3，
因为第6项为常数项，所以r=5时，有n-2r3=0，即n=10.
（2）令n-2r3=2，得r=12（n-6）=12×（10-6）=2，∴所求的系数为C210（-12）2=454.
（3）根据通项公式，由题意得10-2r3∈Z，
0≤r≤10，
r∈Z.
令10-2r3=k（k∈Z），则10-2r=3k，即r=5-32k，
∵r∈Z，∴k应为偶数.∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210（-12）2x2，C510（-12）5，C810（-12）8x-2.
点评：①解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）;第二步是根据所求的指数，再求所求解的项;②求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.
基本题型2二项式系数的性质
例2二项式（2x-3y）9展开式中，求
（1）二项式系数之和;
（2）各项系数之和;
（3）所有奇数项系数之和;
（4）系数绝对值的和.
解析：设（2x-3y）9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
（1）二项式系数之和为：C09+C19+C29+…+C99=29.
（2）各项系数之和为：a0+a1+a2+…+a9.
令x=1，y=1，得a0+a1+a2+…+a9=（2-3）9=-1.
（3）由（2）知a0+a1+a2+…+a9=-1.①
令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=（2+3）9=59.②
①+②得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即为所有奇数项系数之和.
（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…+a8-a9=59.
点评：二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值均成立.因此，可将a，b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令a，b等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，-1，0”，有时也取其他值.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）展开式的各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为f（1）+f（-1）2，偶数项系数之和为f（1）-f（-1）2.
基本题型3二项式定理的应用
例3（1）试判断7777-1能否被19整除.
（2）证明：32n+2-8n-9是64的倍数.
解析：（1）由于76是19的倍数，可将7777转化为（76+1）77用二项式定理展开.
7777-1=（76+1）77-1
=7677+C177·7676+C277·7675+…+C7677·76+C7777-1
=76（7676+C1777675+C2777674+…+C7677）.
由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除.
（2）∵32n+2-8n-9
=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9
=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+Cnn+1·8+1-8n-9
=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+8（n+1）+1-8n-9
=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82
=（8n-1+C1n+1·8n-2+…+Cn-1n+1）·64，
∴32n+2-8n-9是64的倍数.
点评：利用二项式定理解决整除性问题时，关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理.
二、思想方法
1.函数与方程思想
例4已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
若a1+a2+…+an-1=29-n，求n.
分析：二项式系数求和问题可用赋值法.
解析：a0=1+1+…+1=n，an=1.令x=1，
则2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an，
∴a1+a2+…+an-1=2（1-2n）1-2-a0-an =2（2n-1）-n-1=2n+1-n-3，
∴2n+1-n-3=29-n，∴n=4.
点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作x的函数f（x），其系数问题与函数值f（1）的展开式相联系.
2.构造思想
例5已知（3x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992，求在（2x-1x）2n的展开式中，
（1）二项式系数最大的项;
（2）系数的绝对值最大的项.
分析：首先根据题设条件解出n的值，再根据题设条件进行求解.
解：由题意22n-2n=992，解得n=5.
（1）（2x-1x）10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6=T5+1=C510（2x）5（-1x）5=-8064.
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，则Tr+1=Cr10（2x）10-r（-1x）r=（-1）rCr10210-rx10-2r，
在此，就需构造如下不等式组，以获得系数的绝对值最大的项对应的r值.
∴Cr10210-r≥Cr-110210-r+1
Cr10210-r≥Cr+110210-r-1，得Cr10≥2Cr-110
2Cr10≥Cr+110，
即11-r≥2r
2（r+1）≥10-r，
∴83≤r≤113，∴r=3，故系数的绝对值最大的是第4项.
点评：在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负，当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关.
3.转化思想
例6若（x+1x-2）n的展开式的常数项为-20，求n.
分析：本题中x≠0.当x>0时，把三项式（x+1x-2）n，转化为（x+1x-2）n=（x-1x）2n，当x<0时，同理（x+1x-2）n=（-1）n（-x+1-x）2n，然后运用通项公式写出通项，令含x的幂指数为零即可.
解：当x>0时（x+1x-2）n=（x-1x）2n，其通项为
Tr+1=Cr2n（x）2n-r（-1x）r=（-1）rCr2n
（x）2n-2r，
令2n-2r=0得n=r，故展开式的常数项为（-1）nCn2n;
当x<0时（x+1x-2）n=（-x+1-x）2n，同理可知，展开式的常数项为（-1）nCn2n.
无论哪一种情况，常数项均为（-1）nCn2n.
令（-1）nCn2n=-20，以n=1，2，3，…逐个代入，得n=3.
点评：这种把三项式转换为两项式然后利用二项式定理把二项式展开求值的思路，在二项式问题中是一种常见处理方法，也包括把四项式转换为两项式.这就是说当我们遇到三项式或四项式时就要先试一试是不是能转换为两项式，然后再用二项式定理解决问题.
（作者：孙建国，江苏省太仓高级中学）
一、基本题型
基本题型1求二项展开式中指定项或指定项的系数
例1已知在（3x-123x）n的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n;
（2）求含x2的项的系数;
（3）求展开式中所有的有理项.
解析：（1）通项公式为
Tr+1=Crnxn-r3（-12）rx-r3
=Crn（-12）rxn-2r3，
因为第6项为常数项，所以r=5时，有n-2r3=0，即n=10.
（2）令n-2r3=2，得r=12（n-6）=12×（10-6）=2，∴所求的系数为C210（-12）2=454.
（3）根据通项公式，由题意得10-2r3∈Z，
0≤r≤10，
r∈Z.
令10-2r3=k（k∈Z），则10-2r=3k，即r=5-32k，
∵r∈Z，∴k应为偶数.∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210（-12）2x2，C510（-12）5，C810（-12）8x-2.
点评：①解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）;第二步是根据所求的指数，再求所求解的项;②求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.
基本题型2二项式系数的性质
例2二项式（2x-3y）9展开式中，求
（1）二项式系数之和;
（2）各项系数之和;
（3）所有奇数项系数之和;
（4）系数绝对值的和.
解析：设（2x-3y）9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
（1）二项式系数之和为：C09+C19+C29+…+C99=29.
（2）各项系数之和为：a0+a1+a2+…+a9.
令x=1，y=1，得a0+a1+a2+…+a9=（2-3）9=-1.
（3）由（2）知a0+a1+a2+…+a9=-1.①
令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=（2+3）9=59.②
①+②得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即为所有奇数项系数之和.
（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…+a8-a9=59.
点评：二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值均成立.因此，可将a，b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令a，b等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，-1，0”，有时也取其他值.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）展开式的各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为f（1）+f（-1）2，偶数项系数之和为f（1）-f（-1）2.
基本题型3二项式定理的应用
例3（1）试判断7777-1能否被19整除.
（2）证明：32n+2-8n-9是64的倍数.
解析：（1）由于76是19的倍数，可将7777转化为（76+1）77用二项式定理展开.
7777-1=（76+1）77-1
=7677+C177·7676+C277·7675+…+C7677·76+C7777-1
=76（7676+C1777675+C2777674+…+C7677）.
由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除.
（2）∵32n+2-8n-9
=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9
=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+Cnn+1·8+1-8n-9
=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+8（n+1）+1-8n-9
=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82
=（8n-1+C1n+1·8n-2+…+Cn-1n+1）·64，
∴32n+2-8n-9是64的倍数.
点评：利用二项式定理解决整除性问题时，关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理.
二、思想方法
1.函数与方程思想
例4已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
若a1+a2+…+an-1=29-n，求n.
分析：二项式系数求和问题可用赋值法.
解析：a0=1+1+…+1=n，an=1.令x=1，
则2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an，
∴a1+a2+…+an-1=2（1-2n）1-2-a0-an =2（2n-1）-n-1=2n+1-n-3，
∴2n+1-n-3=29-n，∴n=4.
点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作x的函数f（x），其系数问题与函数值f（1）的展开式相联系.
2.构造思想
例5已知（3x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992，求在（2x-1x）2n的展开式中，
（1）二项式系数最大的项;
（2）系数的绝对值最大的项.
分析：首先根据题设条件解出n的值，再根据题设条件进行求解.
解：由题意22n-2n=992，解得n=5.
（1）（2x-1x）10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6=T5+1=C510（2x）5（-1x）5=-8064.
（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，则Tr+1=Cr10（2x）10-r（-1x）r=（-1）rCr10210-rx10-2r，
在此，就需构造如下不等式组，以获得系数的绝对值最大的项对应的r值.
∴Cr10210-r≥Cr-110210-r+1
Cr10210-r≥Cr+110210-r-1，得Cr10≥2Cr-110
2Cr10≥Cr+110，
即11-r≥2r
2（r+1）≥10-r，
∴83≤r≤113，∴r=3，故系数的绝对值最大的是第4项.
点评：在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负，当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关.
3.转化思想
例6若（x+1x-2）n的展开式的常数项为-20，求n.
分析：本题中x≠0.当x>0时，把三项式（x+1x-2）n，转化为（x+1x-2）n=（x-1x）2n，当x<0时，同理（x+1x-2）n=（-1）n（-x+1-x）2n，然后运用通项公式写出通项，令含x的幂指数为零即可.
解：当x>0时（x+1x-2）n=（x-1x）2n，其通项为
Tr+1=Cr2n（x）2n-r（-1x）r=（-1）rCr2n
（x）2n-2r，
令2n-2r=0得n=r，故展开式的常数项为（-1）nCn2n;
当x<0时（x+1x-2）n=（-x+1-x）2n，同理可知，展开式的常数项为（-1）nCn2n.
无论哪一种情况，常数项均为（-1）nCn2n.
令（-1）nCn2n=-20，以n=1，2，3，…逐个代入，得n=3.
点评：这种把三项式转换为两项式然后利用二项式定理把二项式展开求值的思路，在二项式问题中是一种常见处理方法，也包括把四项式转换为两项式.这就是说当我们遇到三项式或四项式时就要先试一试是不是能转换为两项式，然后再用二项式定理解决问题.
（作者：孙建国，江苏省太仓高级中学）