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一、了解考点与命题趋向,明确解综合题的要求
(一)知识考点及能力培养要求
1.准确地掌握基础知识,具有熟练的基本技能;2.弄清概念,熟记全部定理、法则、公式,特别是定理、法则、公式的适用条件;3.加强分析问题、解决问题的思维训练,逐步提高解题能力;4.通过变式训练,拓展学生思维,提高学生的辨别能力,有利于学生克服思维定势;5.在解题中培养学生的创新意识,巧解复杂、综合的数学问题;6.善于把实际问题转化为数学问题,培养学生用数学知识解决实际问题的能力,这也是素质教育的要求。
(二)解综合题的思想方法和解题过程要求
1.认真审题,善于分解,使综合问题向典型问题转化;2.善于拾漏补遗,力求答案准确无误; 3、善于运用数学思想、方法解综合题;数学方法有待定系数法、分类讨论法、反证法等;数学思想有数形结合、分析与综合、转化、方程等,在解题中能自如地运用。
二、解题方法与技巧的探索,思路方法的培养
学生能力的提高,要依靠在平时的知识积累,在教学中适时拓展知识范围,引导学生自觉地去思考,从特殊想到一般,从抽象想到具体,由此及彼,由里到外,从而培养学生分析和解决问题的能力,逐步提高学生归纳、整理知识的能力。使学生走上发展创新之路,真正实现提高学生解答综合题的能力与技巧的愿望。
下面是我在教学中,根据教学内容适时补充如下类型题目作学生课后思考题,具体实施办法:①先用小黑板公布思考题,并作简要分析,点明解题思路。②多位学生作解后,作评讲,肯定最优方法。③解题方法规律总结。通过长期的训练,学生解综合题能力提高较快,取得了较好的教学效果。 类型题目举例如下。
方法1:数形结合法。(借助图形联想,巧解题)
【例1】如图所示,Rt△AOB的顶点A是直线y=x m与双曲线y=mx在第一象限内的交点直线y=x m和x轴交于点C,且S△AOB=3
求:(1)m的值
(2)△ACB的面积
【分析】要求m的值,只需求xy的值即可,由S△AOB=12OB·AB=3,即xy=6,从而求出m的值,确定了直线和双曲线的解析式,最后解方程组,求出两图象的交点A的坐标和BC的长,S△ACB就可以求出。
【解】(略)
【规律总结】此题是函数类形综合题,凡是求函数图象交点问题,常转化为方程组求解,解函数问题常借助图象,这就是数形结合思想的表现形式。
方法2:分类讨论法。(此类题课本中少出现的探索型问题)
【例2】已知二次函数y=ax2 bx c的图象过点A(2,4),顶点的横坐标为12,它的图象与x轴交于两点B(x1,0),C(x2,0),与y轴交于点D,且x12 x22=13,试问:y轴上是否存在点p,使得△POB与△DOC相似(O为坐标原点)?若存在,试求出过P,B两点直线的解析式,若不存在,请说明理由。
【分析】易求抛物线的解析式为y=-x2 x 6,与x轴交点坐标为(-2,0),(3,0),与y轴的交点坐标为D(0,6),因为题中未给出B,C的确定位置,所以要分两种情况讨论。
【解】(略)
【规律总结】此题是就点的不确定性进行讨论,即点B的坐标有(3,0)或(-2,0)兩种情况。分类讨论思想方法是解探索型问题的一个重要的思想方法。分类的关键是捕捉问题中的不确定因亲,把握了这一点,一些复杂问题也就转化为我们所熟悉的简单问题。
方法3:变换视角。(是逆向思维的运用,巧妙解决问题)
【例3】已知关于x的方程x3-ax2-2ax a2-1=0有且只有一个实根,求实数a的范围。
【分析】按常规思路,把x当成主元,求出x,再对a进行讨论,解题过程相当繁琐,若把a当作主元,这种反“客”为“主”的转换思维技巧很新颖别致。
【解】原方程可变为:a2-(x2 2x)a x3-1=0,即[a-(x-1)][a-(x2 x 1)]=0,∴x=a 1或x2 x 1-a=0
因为原方程有且只有一个实根,所以方程x2 x 1-a=0无实根。由△
(一)知识考点及能力培养要求
1.准确地掌握基础知识,具有熟练的基本技能;2.弄清概念,熟记全部定理、法则、公式,特别是定理、法则、公式的适用条件;3.加强分析问题、解决问题的思维训练,逐步提高解题能力;4.通过变式训练,拓展学生思维,提高学生的辨别能力,有利于学生克服思维定势;5.在解题中培养学生的创新意识,巧解复杂、综合的数学问题;6.善于把实际问题转化为数学问题,培养学生用数学知识解决实际问题的能力,这也是素质教育的要求。
(二)解综合题的思想方法和解题过程要求
1.认真审题,善于分解,使综合问题向典型问题转化;2.善于拾漏补遗,力求答案准确无误; 3、善于运用数学思想、方法解综合题;数学方法有待定系数法、分类讨论法、反证法等;数学思想有数形结合、分析与综合、转化、方程等,在解题中能自如地运用。
二、解题方法与技巧的探索,思路方法的培养
学生能力的提高,要依靠在平时的知识积累,在教学中适时拓展知识范围,引导学生自觉地去思考,从特殊想到一般,从抽象想到具体,由此及彼,由里到外,从而培养学生分析和解决问题的能力,逐步提高学生归纳、整理知识的能力。使学生走上发展创新之路,真正实现提高学生解答综合题的能力与技巧的愿望。
下面是我在教学中,根据教学内容适时补充如下类型题目作学生课后思考题,具体实施办法:①先用小黑板公布思考题,并作简要分析,点明解题思路。②多位学生作解后,作评讲,肯定最优方法。③解题方法规律总结。通过长期的训练,学生解综合题能力提高较快,取得了较好的教学效果。 类型题目举例如下。
方法1:数形结合法。(借助图形联想,巧解题)
【例1】如图所示,Rt△AOB的顶点A是直线y=x m与双曲线y=mx在第一象限内的交点直线y=x m和x轴交于点C,且S△AOB=3
求:(1)m的值
(2)△ACB的面积
【分析】要求m的值,只需求xy的值即可,由S△AOB=12OB·AB=3,即xy=6,从而求出m的值,确定了直线和双曲线的解析式,最后解方程组,求出两图象的交点A的坐标和BC的长,S△ACB就可以求出。
【解】(略)
【规律总结】此题是函数类形综合题,凡是求函数图象交点问题,常转化为方程组求解,解函数问题常借助图象,这就是数形结合思想的表现形式。
方法2:分类讨论法。(此类题课本中少出现的探索型问题)
【例2】已知二次函数y=ax2 bx c的图象过点A(2,4),顶点的横坐标为12,它的图象与x轴交于两点B(x1,0),C(x2,0),与y轴交于点D,且x12 x22=13,试问:y轴上是否存在点p,使得△POB与△DOC相似(O为坐标原点)?若存在,试求出过P,B两点直线的解析式,若不存在,请说明理由。
【分析】易求抛物线的解析式为y=-x2 x 6,与x轴交点坐标为(-2,0),(3,0),与y轴的交点坐标为D(0,6),因为题中未给出B,C的确定位置,所以要分两种情况讨论。
【解】(略)
【规律总结】此题是就点的不确定性进行讨论,即点B的坐标有(3,0)或(-2,0)兩种情况。分类讨论思想方法是解探索型问题的一个重要的思想方法。分类的关键是捕捉问题中的不确定因亲,把握了这一点,一些复杂问题也就转化为我们所熟悉的简单问题。
方法3:变换视角。(是逆向思维的运用,巧妙解决问题)
【例3】已知关于x的方程x3-ax2-2ax a2-1=0有且只有一个实根,求实数a的范围。
【分析】按常规思路,把x当成主元,求出x,再对a进行讨论,解题过程相当繁琐,若把a当作主元,这种反“客”为“主”的转换思维技巧很新颖别致。
【解】原方程可变为:a2-(x2 2x)a x3-1=0,即[a-(x-1)][a-(x2 x 1)]=0,∴x=a 1或x2 x 1-a=0
因为原方程有且只有一个实根,所以方程x2 x 1-a=0无实根。由△