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勾股定理是中学数学的一个重要定理，它有着悠久的历史和广泛的使用范围，在实际生活中有很多应用.在几何体中有很多求“最短距离”问题的例子，“最短距离”问题是勾股定理在实际生活中的具体应用.一般地，求最短距离时，要把立体图形转化为平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”以及“勾股定理”等来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有正方体、长方体和圆柱.下面举例加以说明.
一、台阶中的最值问题
例1 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm，3 cm和1 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
分析 将左边的几何体图形转化为右边的平面图形得到线段AB最短，AC=5,BC=12.
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB=13.
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2 有一圆形油罐底面圆的周长为24 m，高为6 m，一只老鼠从距底面1 m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
分析 由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A，B分别在圆柱侧面展开图的宽1 m处和长24 m的中点处，即AB长为最短路线.(如上图)
解 AC=6-1=5，BC=24×12=12，
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2.
∴AB=13(m).
三、正方体中的最值问题
例3 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是().
分析 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.AB=12+22=5.
四、长方体中的最值问题
例4 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图中AC1爬行的最短路线.
AC1=42+32=25，AC1=62+12=37，AC1=52+22=29.
小结 将立体几何问题转化为平面几何问题是解题的基本思路，利用柱、锥的侧面展开图可以解决这类沿侧面绕行的最短路线问题.把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、台阶中的最值问题
例1 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm，3 cm和1 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
分析 将左边的几何体图形转化为右边的平面图形得到线段AB最短，AC=5,BC=12.
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB=13.
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2 有一圆形油罐底面圆的周长为24 m，高为6 m，一只老鼠从距底面1 m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
分析 由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A，B分别在圆柱侧面展开图的宽1 m处和长24 m的中点处，即AB长为最短路线.(如上图)
解 AC=6-1=5，BC=24×12=12，
由勾股定理,得AB2=AC2+BC2.
∴AB=13(m).
三、正方体中的最值问题
例3 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是().
分析 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.AB=12+22=5.
四、长方体中的最值问题
例4 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图中AC1爬行的最短路线.
AC1=42+32=25，AC1=62+12=37，AC1=52+22=29.
小结 将立体几何问题转化为平面几何问题是解题的基本思路，利用柱、锥的侧面展开图可以解决这类沿侧面绕行的最短路线问题.把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文