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波利亚在《怎样解题》中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平.”这就说明：分析问题过程不仅能改进解答而且能提高理解水平.波利亚在《数学的发现》序言中还具体指出解题分析的最佳时机：“可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候.” 回顾从当学生到当教师的三十多年解题实践，看到了一条清晰的学解题路线：由“简单模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，从而进入到“自觉分析”.下面是教二次函数求解析式时的一个案例，这是一个基于实践经验的个人认识.
一、简单模仿
即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题.波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”；张景中在《帮你学数学》中说“募仿是学习的开始”.这一阶段，记忆是一项重要的内容.
首先由同学们概括出二次函数的解析式的三种表达形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a0）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a、h、k是常数且a0），顶点为（h，k）；
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标）.
然后给出基本题，让学生简单模仿.
例1 已知某二次函数的图象经过点A（-1，-6），B（2，3），C（0，-5），求此抛物线的解析式.
例2 已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（-1，0），求这个二次函数的解析式.
例3 已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（2，0）并经过点M（0，1），求该抛物线的解析式.
归纳：1.若给出抛物线上任意三点，通常可设____式；
2.若给出抛物线的顶点坐标或对称轴和最值，通常可设____式；
3.若给出抛物线与x轴交点或对称轴和与x轴两交点的距离，通常可设____式.
二、变式练习
即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化的干扰性习题.这一步具有新旧知识相互作用的功能，做好了能形成新认识结构的雏形.
例3 已知二次函数图象与x轴两交点间的距离为4个单位长，且顶点为P（3，-2）， 求这个二次函数的解析式.
引导学生分析已知条件， 进行有用捕捉、有关提取、有效组合，得出如下信息：
由“顶点为P（3，-2）”，可得抛物线的对称轴为直线x=3，函数最值是-2；
由“图象与x轴两交点间的距离为4个单位长”，可得该图象与x轴两交点分别在对称轴直线x=3两侧各2个单位处，即该图象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0）；
提取基本题中二次函数解析式的三种表达形式.
把有用捕捉、有关提取的信息有效组合起来，学生得到如下三种解法：
解法设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵图象过（1，0）（5，0）（3，-2）三点，可得方程组
解得a=，b=-3，c=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
解法∵抛物线的顶点为P（3，-2），∴设二次函数解析式为y=a（x-3）2-2（a0），
又图象过点（1，0），则0=（1-3）2a-2，得a=
∴函数解析式为y=（x-3）2-2即y=x2-3x+.
解法∵二次函数图象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0），∴设该函数解析式为y=a（x-1）（x-5）（a0），
∵图象顶点P（3，-2），则-2=2（-2）a，得a=
∴函数解析式为y=（x-1）（x-5），即y=x2-3x+.
三、自发领悟
即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解，主要表现为从事实到规律的领悟、从实践到理论的提升.但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”. 这实际上是一个各人自己去体会“解题思路的探求”“解题能力的提高”“解题策略的形成”“解题模式的提炼”， 从而生成个体经验的过程.这一阶段具有形成新认知结构的功能.
在平时的教学活动中，例3一般会到此为止，认为思路已经打通，解法初步得出，解题过程就完成了.但实际上此时此刻忽视解题后的再思考，便错过了提高的最好机会，无异于“入宝山而空返”.我试着对学生加以引导：是否可以从上面的几种解法中，将某些信息进行交合，得出新的解法？
通过引导，学生发现：不同的解析式中，a的值是相同的，于是便想到同时用两种表达式表示，能求出a 的值，即下面的解法.
解法∵抛物线的顶点为P（3，-2）， ∴设二次函数的解析式为y=a（x-3）2-2，
又∵图象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0）， ∴设该函数的解析式为y=a（x-1）（x-5）（a0），
故有，两式相减，得a=，
∴函数解析式为y=（x-3）2-2或y=（x-1）（x-5），即y=x2-3x+.
由于这一程式的成功运用，没想到此种解法的学生也有了顿悟，尝到反思中的成功喜悦，也感悟到学习解题需要理解，不仅要掌握解题的操作，还要领悟解题思路、方法及领悟问题的深层结构.
四、自觉分析
这是一个通过已知学未知、通过分析怎样解题而领悟怎样学会解题的过程，也是一个从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础到创新、从内隐到外显的飞跃阶段.它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示.这一步具有形成并强化新认知结构的功能.
上述解题后，我继续加以引导：解答此题能否再与我们学过的二次函数相关知识加以结合？给三天时间让同学们课后分析，看看哪位同学有新的发现.同学们一个个都摩拳擦掌，跃跃欲试.通过同学们几天的反思，又得出了如下的解法：
解法∵圖象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0）， ∴设该函数的解析式为y=a（x-1）（x-5）（a0），即.
又顶点纵坐标为-2，得，解得a=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
解法设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a0）
又∵图象过点（5，0）和顶点（3，-2），得方程组
解得a=，b=-3，c=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
解法设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a0）
又∵图象过点（1，0）和顶点（3，-2），得方程组
解得a=，b=-3，c=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
通过比较上述几种解法，同学们发现：
1）本题都是使用待定系数法解题，而设待定系数法的途径是多样的；
2）求解待定系数的过程是方程思想的应用， 而函数的待定表达式则提供了列方程统一的等量关系；
3）不同的函数表达式导致不同的方程（组），关系到计算量和准确度，选用一般式计算量较大，而顶点式、交点式比较简便.在实际问题中应根据具体情况灵活选用.
通过对上述例题的分析，学生感觉收获颇多，解题思路一下子被打开了.“这就像登上山顶后居高临下的俯瞰，也像是经过黑夜摸索之后拉开黑房间的电灯，整个世界已焕然一新”.我将在今后的教学中不断引导学生对典型例题作解题后的反思，让他们通过已知学未知，通过分析已经解过的题去领悟解题思想，通过解题思想去驾驭并活化知识与方法，增强分析能力，提高领悟水平，优化思维品质，学会解题。
一、简单模仿
即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题.波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”；张景中在《帮你学数学》中说“募仿是学习的开始”.这一阶段，记忆是一项重要的内容.
首先由同学们概括出二次函数的解析式的三种表达形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a0）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a、h、k是常数且a0），顶点为（h，k）；
（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标）.
然后给出基本题，让学生简单模仿.
例1 已知某二次函数的图象经过点A（-1，-6），B（2，3），C（0，-5），求此抛物线的解析式.
例2 已知二次函数图象的对称轴是直线x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（-1，0），求这个二次函数的解析式.
例3 已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（2，0）并经过点M（0，1），求该抛物线的解析式.
归纳：1.若给出抛物线上任意三点，通常可设____式；
2.若给出抛物线的顶点坐标或对称轴和最值，通常可设____式；
3.若给出抛物线与x轴交点或对称轴和与x轴两交点的距离，通常可设____式.
二、变式练习
即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化的干扰性习题.这一步具有新旧知识相互作用的功能，做好了能形成新认识结构的雏形.
例3 已知二次函数图象与x轴两交点间的距离为4个单位长，且顶点为P（3，-2）， 求这个二次函数的解析式.
引导学生分析已知条件， 进行有用捕捉、有关提取、有效组合，得出如下信息：
由“顶点为P（3，-2）”，可得抛物线的对称轴为直线x=3，函数最值是-2；
由“图象与x轴两交点间的距离为4个单位长”，可得该图象与x轴两交点分别在对称轴直线x=3两侧各2个单位处，即该图象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0）；
提取基本题中二次函数解析式的三种表达形式.
把有用捕捉、有关提取的信息有效组合起来，学生得到如下三种解法：
解法设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵图象过（1，0）（5，0）（3，-2）三点，可得方程组
解得a=，b=-3，c=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
解法∵抛物线的顶点为P（3，-2），∴设二次函数解析式为y=a（x-3）2-2（a0），
又图象过点（1，0），则0=（1-3）2a-2，得a=
∴函数解析式为y=（x-3）2-2即y=x2-3x+.
解法∵二次函数图象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0），∴设该函数解析式为y=a（x-1）（x-5）（a0），
∵图象顶点P（3，-2），则-2=2（-2）a，得a=
∴函数解析式为y=（x-1）（x-5），即y=x2-3x+.
三、自发领悟
即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解，主要表现为从事实到规律的领悟、从实践到理论的提升.但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”. 这实际上是一个各人自己去体会“解题思路的探求”“解题能力的提高”“解题策略的形成”“解题模式的提炼”， 从而生成个体经验的过程.这一阶段具有形成新认知结构的功能.
在平时的教学活动中，例3一般会到此为止，认为思路已经打通，解法初步得出，解题过程就完成了.但实际上此时此刻忽视解题后的再思考，便错过了提高的最好机会，无异于“入宝山而空返”.我试着对学生加以引导：是否可以从上面的几种解法中，将某些信息进行交合，得出新的解法？
通过引导，学生发现：不同的解析式中，a的值是相同的，于是便想到同时用两种表达式表示，能求出a 的值，即下面的解法.
解法∵抛物线的顶点为P（3，-2）， ∴设二次函数的解析式为y=a（x-3）2-2，
又∵图象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0）， ∴设该函数的解析式为y=a（x-1）（x-5）（a0），
故有，两式相减，得a=，
∴函数解析式为y=（x-3）2-2或y=（x-1）（x-5），即y=x2-3x+.
由于这一程式的成功运用，没想到此种解法的学生也有了顿悟，尝到反思中的成功喜悦，也感悟到学习解题需要理解，不仅要掌握解题的操作，还要领悟解题思路、方法及领悟问题的深层结构.
四、自觉分析
这是一个通过已知学未知、通过分析怎样解题而领悟怎样学会解题的过程，也是一个从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础到创新、从内隐到外显的飞跃阶段.它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示.这一步具有形成并强化新认知结构的功能.
上述解题后，我继续加以引导：解答此题能否再与我们学过的二次函数相关知识加以结合？给三天时间让同学们课后分析，看看哪位同学有新的发现.同学们一个个都摩拳擦掌，跃跃欲试.通过同学们几天的反思，又得出了如下的解法：
解法∵圖象与x轴两交点坐标分别为（1，0）、（5，0）， ∴设该函数的解析式为y=a（x-1）（x-5）（a0），即.
又顶点纵坐标为-2，得，解得a=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
解法设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a0）
又∵图象过点（5，0）和顶点（3，-2），得方程组
解得a=，b=-3，c=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
解法设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a0）
又∵图象过点（1，0）和顶点（3，-2），得方程组
解得a=，b=-3，c=，
∴函数解析式为y=x2-3x+.
通过比较上述几种解法，同学们发现：
1）本题都是使用待定系数法解题，而设待定系数法的途径是多样的；
2）求解待定系数的过程是方程思想的应用， 而函数的待定表达式则提供了列方程统一的等量关系；
3）不同的函数表达式导致不同的方程（组），关系到计算量和准确度，选用一般式计算量较大，而顶点式、交点式比较简便.在实际问题中应根据具体情况灵活选用.
通过对上述例题的分析，学生感觉收获颇多，解题思路一下子被打开了.“这就像登上山顶后居高临下的俯瞰，也像是经过黑夜摸索之后拉开黑房间的电灯，整个世界已焕然一新”.我将在今后的教学中不断引导学生对典型例题作解题后的反思，让他们通过已知学未知，通过分析已经解过的题去领悟解题思想，通过解题思想去驾驭并活化知识与方法，增强分析能力，提高领悟水平，优化思维品质，学会解题。