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在学习线段的有关知识时,同学们会遇到许多求线段长短的问题,其中有些题目看似简单,却很难入手,有些题目会因我们思考不全面而造成漏解,怎么办呢?下面就谈谈几种解题方法,供同学们参考.
一、利用图形中的线段的“和、差、倍、分”
结合图形正确理解线段和、差、倍、分的含义和线段中点的概念
如图1,已知点C是线段AB上的点,则可以得到如下的结论:AB=AC+BC或BC=AB-AC或AC=AB-BC.
如图2,已知点C是线段AB的中点,则可以得到如下的推理形式:
∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC=1/2AB或AB=2AC=2BC.
又如图2,已知AC=BC=1/2AB或AB=2AC=2BC,可以得到如下推理形式:
∵AC=BC=1/2AB或AB=2AC=2BC,∴点C是线段AB 的中点.
例1如图3,已知AC=CD,DE=EF=FB,AB=8.8,BF=2,求AC的长.
解析:因为DE=EF=FB,DB=DE+EF+FB,DB=3EF=6,
所以AD=AB-DB=8.8-6=2.8 .
因为AC=CD,所以AC=1/2AD=1.4.
点评:识图是关键,结合图形来找线段之间的数量关系.
二、方程法
例2 如图4,已知:AC=2BC,M是AB的中点,MC=6,求AB的长.
解析:图中只有线段MC的长度已知,利用它直接求其它线段的长度会很困难.设其中一条未知线段为x,利用题中的等量关系用含x的代数式表示其他的未知线段,然后列方程求解.设AM=MB=x,则AC=x+6,BC=x-6,又AC=2BC,所以x+6=2(x-6),解之,得x=18,则AB=AC+BC=24+12=36.
点评:当题目中的未知量较多时,可以考虑将其中一个用字母表示,然后尽量挖掘题目条件中的等量关系,用含字母的代数式表示出其他的未知量,最后列方程解决问题,过程简单明了,这是字母表示数的一大特点.
三、分类法
例3已知线段AB=8,直线AB上有一点P ,(1)若AP=5,求BP的长;(2)若点C是AP的中点,D是BP的中点,求CD的长.
解析:因为没有说明点P 是在点A的左边还是右边,所以要分两种情况.
(1)①如图5,当点P在点A的左侧时,BP=AP+AB=5+8=13;②如图6,当点P在点A的右侧时,BP = AB-AP=8-5=3.
(2)①如图7,因为点C是AP的中点,所以AC=1/2AP=5/2;因为点D是BP的中点,所以PD=1/2PB=13/2,又因为AD=PD-PA=13/2-5=3/2,所以CD=CA+AD=5/2+3/2=4.
②如图8,因为点C是AP的中点,所以CP=1/2AP=5/2,因为点D是BP的中点,所以PD=1/2PB=3/2,所以CD=CP +PD=4.
点评:解答本题我们要掌握线段和、差及线段中点的概念,也要了解分类方法,在用分类法解题时,分类要明确,做到既不重复,又不遗漏.
四、参数法
例4 如图9,已知AB=8, M是AC的中点,N是BC的中点,求MN.
解析:由本题的条件可以发现,若知道BC的长就好了,设BC=2x,则BN=NC=x,则AM=MC=1/2(AB+BC)=3/2(8+2x)= 4+x,所以MN=MC-NC= 4+x-x=4.
点评:为了方便计算,设其中一条未知的线段为x,但所设的字母x在计算到最后时却主动消失了,在你需要它时它帮你,不需要时就主动消失,这不是很神奇吗?这是字母表示数的另一特点!我们把这种字母称为参数.
五、整体法
例5如图10,A、B、C、D四点在同一直线上,M是AB的中点,N是CD的中点,MN=m,BC=n,则AD=().
A.m+n B.m+2nC.2m-nD.2n-m
解析:我们可以把AB+CD和BM+CN作为一个整体来求.因为M是AB的中点,N 是CD的中点,所以AB=2BM,CD=2CN,即AB+CD=2BM+2CN=2(BM+CN),又BM+CN=MN-BC=m-n,所以AB+CD=2(m-n)=2m-2n,所以AD=AB+CD+BC=2m-2n+n=2m-n.故选C.
点评:直接求AB、CD的长不太容易,但求AB+CD的长却较容易,这时就把它们看成一个整体进行求解,从而使问题得以解决. 像这样,将几个单个的对象作为一个整体考虑,就是整体思想.
练习
1. 已知:如图11,M、N是数轴上的两点,它们分别表示有理数-2.4,1.6,则线段MN的中点A表示的有理数是().
A. -0.4B.-0.8 C.2D.1
2. 如图12,线段AB=4,点O是线段AB上的点,点C、D是线段OA、OB的中点.
小明很轻松地求得CD=2,他在反思过程中突发奇想:若点O在直线AB上运动,则原有的结论“CD=2”是否一直成立呢?请帮小明画出图形分析,并说明理由.
答案: 1.A;2.要分别讨论点O在BA和AB的延长线和线段AB上的情况,结论“CD=2”是一直成立的.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、利用图形中的线段的“和、差、倍、分”
结合图形正确理解线段和、差、倍、分的含义和线段中点的概念
如图1,已知点C是线段AB上的点,则可以得到如下的结论:AB=AC+BC或BC=AB-AC或AC=AB-BC.
如图2,已知点C是线段AB的中点,则可以得到如下的推理形式:
∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC=1/2AB或AB=2AC=2BC.
又如图2,已知AC=BC=1/2AB或AB=2AC=2BC,可以得到如下推理形式:
∵AC=BC=1/2AB或AB=2AC=2BC,∴点C是线段AB 的中点.
例1如图3,已知AC=CD,DE=EF=FB,AB=8.8,BF=2,求AC的长.
解析:因为DE=EF=FB,DB=DE+EF+FB,DB=3EF=6,
所以AD=AB-DB=8.8-6=2.8 .
因为AC=CD,所以AC=1/2AD=1.4.
点评:识图是关键,结合图形来找线段之间的数量关系.
二、方程法
例2 如图4,已知:AC=2BC,M是AB的中点,MC=6,求AB的长.
解析:图中只有线段MC的长度已知,利用它直接求其它线段的长度会很困难.设其中一条未知线段为x,利用题中的等量关系用含x的代数式表示其他的未知线段,然后列方程求解.设AM=MB=x,则AC=x+6,BC=x-6,又AC=2BC,所以x+6=2(x-6),解之,得x=18,则AB=AC+BC=24+12=36.
点评:当题目中的未知量较多时,可以考虑将其中一个用字母表示,然后尽量挖掘题目条件中的等量关系,用含字母的代数式表示出其他的未知量,最后列方程解决问题,过程简单明了,这是字母表示数的一大特点.
三、分类法
例3已知线段AB=8,直线AB上有一点P ,(1)若AP=5,求BP的长;(2)若点C是AP的中点,D是BP的中点,求CD的长.
解析:因为没有说明点P 是在点A的左边还是右边,所以要分两种情况.
(1)①如图5,当点P在点A的左侧时,BP=AP+AB=5+8=13;②如图6,当点P在点A的右侧时,BP = AB-AP=8-5=3.
(2)①如图7,因为点C是AP的中点,所以AC=1/2AP=5/2;因为点D是BP的中点,所以PD=1/2PB=13/2,又因为AD=PD-PA=13/2-5=3/2,所以CD=CA+AD=5/2+3/2=4.
②如图8,因为点C是AP的中点,所以CP=1/2AP=5/2,因为点D是BP的中点,所以PD=1/2PB=3/2,所以CD=CP +PD=4.
点评:解答本题我们要掌握线段和、差及线段中点的概念,也要了解分类方法,在用分类法解题时,分类要明确,做到既不重复,又不遗漏.
四、参数法
例4 如图9,已知AB=8, M是AC的中点,N是BC的中点,求MN.
解析:由本题的条件可以发现,若知道BC的长就好了,设BC=2x,则BN=NC=x,则AM=MC=1/2(AB+BC)=3/2(8+2x)= 4+x,所以MN=MC-NC= 4+x-x=4.
点评:为了方便计算,设其中一条未知的线段为x,但所设的字母x在计算到最后时却主动消失了,在你需要它时它帮你,不需要时就主动消失,这不是很神奇吗?这是字母表示数的另一特点!我们把这种字母称为参数.
五、整体法
例5如图10,A、B、C、D四点在同一直线上,M是AB的中点,N是CD的中点,MN=m,BC=n,则AD=().
A.m+n B.m+2nC.2m-nD.2n-m
解析:我们可以把AB+CD和BM+CN作为一个整体来求.因为M是AB的中点,N 是CD的中点,所以AB=2BM,CD=2CN,即AB+CD=2BM+2CN=2(BM+CN),又BM+CN=MN-BC=m-n,所以AB+CD=2(m-n)=2m-2n,所以AD=AB+CD+BC=2m-2n+n=2m-n.故选C.
点评:直接求AB、CD的长不太容易,但求AB+CD的长却较容易,这时就把它们看成一个整体进行求解,从而使问题得以解决. 像这样,将几个单个的对象作为一个整体考虑,就是整体思想.
练习
1. 已知:如图11,M、N是数轴上的两点,它们分别表示有理数-2.4,1.6,则线段MN的中点A表示的有理数是().
A. -0.4B.-0.8 C.2D.1
2. 如图12,线段AB=4,点O是线段AB上的点,点C、D是线段OA、OB的中点.
小明很轻松地求得CD=2,他在反思过程中突发奇想:若点O在直线AB上运动,则原有的结论“CD=2”是否一直成立呢?请帮小明画出图形分析,并说明理由.
答案: 1.A;2.要分别讨论点O在BA和AB的延长线和线段AB上的情况,结论“CD=2”是一直成立的.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。