【摘 要】
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在科学和工程领域,存在很多来源于复杂系统的输入输出或由算法构造的黑盒函数,这类函数的特点是易于求值,但无法直接给出数学表达式.插值策略在构造这样的黑盒函数时非常有效,尤其是针对计算机代数方面的问题,如GCD计算、结式计算等.此外,稀疏插值在信号处理、指数分析、有理近似理论等科学工程领域也有广泛应用.目前,针对稀疏多元多项式插值,主要存在以下几个问题:首先,有限域上高效的稀疏多元多项式插值算法是非确
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在科学和工程领域,存在很多来源于复杂系统的输入输出或由算法构造的黑盒函数,这类函数的特点是易于求值,但无法直接给出数学表达式.插值策略在构造这样的黑盒函数时非常有效,尤其是针对计算机代数方面的问题,如GCD计算、结式计算等.此外,稀疏插值在信号处理、指数分析、有理近似理论等科学工程领域也有广泛应用.目前,针对稀疏多元多项式插值,主要存在以下几个问题:首先,有限域上高效的稀疏多元多项式插值算法是非确定性的,存在一定概率不能准确恢复黑盒多项式;第二,已有的方案遇到大规模多项式插值问题时,所需的操作为高阶代数运算,计算复杂度高;第三,结式矩阵构造是计算密集型任务,当变元个数和方程个数较多时,构造出的结式矩阵维数较大、元素复杂,需要结合符号计算和插值策略,解决中间表达式膨胀问题.本文构造了代数运算规模可控的稀疏插值计算模型,并基于此设计了基于稀疏插值的Dixon结式计算算法,主要研究内容如下:(1)有限域上高概率稀疏多元多项式插值算法.目前有限域上最高效的基于多样化多项式的稀疏插值算法是一种概率性算法,具有一定的失败率.为提高该算法重构黑盒多项式的准确率,首先分析了该算法无法准确恢复黑盒多项式的三种情形,针对这三种情形分别给出相应的解决方案,通过增加插值点和原根等技术提高插值成功的概率,基于此设计了一种基于多样化多项式的高概率稀疏插值算法.时间复杂度分析表明修正算法与原算法是同阶的.(2)基于模算术的稀疏多元多项式插值算法.针对有限域上大规模多项式插值所需的代数运算的复杂度较高问题,提出了一种基于分治策略和模算术的稀疏插值算法.首先利用划分思想,将原问题划分为若干个规模较小的子多项式插值问题,然后采用模算术策略,在插值点较少的情况下高效地解析出恢复子多项式所需的信息,以提高插值计算效率.大量的对比实验表明该算法能有效解决大规模多元多项式插值问题.(3)稀疏插值在Dixon结式计算中的应用.考虑稀疏插值算法在结式计算中的应用,首先设计了一种基于启发式策略的快速递归Dixon矩阵构造算法,针对一类稀疏的多项式系统求解问题,采用启发式策略利用Sylvester结式消去部分变元,然后将矩阵乘法运算简化为多个子矩阵的乘法运算的和,最后通过数值替换变元的策略构造Dixon结式的实例,并利用基于模算术系数解析的稀疏插值算法恢复Dixon结式.本文提出的有限域上稀疏插值算法提高了准确恢复黑盒多项式的概率,基于模算术的稀疏插值算法有效解决了大规模多项式稀疏插值问题,在Dixon结式计算上的应用表明算法具有一定的应用前景.
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