本论文主要研究的是作用在n维欧氏空间Rn上的离散交叉积.　　 首先研究n=1的情形。设Gm，b是由R上的平移作用tb和膨胀作用dm所生成的群，其中m∈N＼{1)，b∈R+，群运算为一一映射的复合运算.令H=L2(R)，A={Mf：f∈L∞(R)}，α是群Gm，b在A上诱导的*-自同构表示，则由群测度构造离散的交叉积可知，得到交叉积A()αGm，b·首先证明对于作用在Hilbert空间H上的von Neumann代数M，αi是群Gi在M上的*-自同构表示，i=1，2.如果群G1同构于群G2，同构映射为θ且α1=α2oθ，则交叉积M()α1G1酉等价于交叉积M()α2G2.特别地，当群Hm，b是由B(L2(R))中的平移算子Tb和膨胀算子Dm所生成的酉群，β是群Hm，b在Hilbert空间L2(R)上的自然酉实现，则有交叉积A()αGm，b酉等价于交叉积A()βHm，b.其次对交叉积A()αGm，b进行因子分类，证明了交叉积A()αGm，b是超有限的III1/m型因子.而任何的IIIλ(0<λ<1)型内射因子都*-同构于Powers因子Rλ，所以得到交叉积A()αGm，b*-同构于Powers因子R1/m.最后讨论离散交叉积在小波分析中的应用.R.V.Kadison在1967年提出了这样一个问题：设M是II1型因子，τ是M上的迹态，则M的标准表示空间L2(M，τ)有由酉算子构成的正规正交基吗? 通过证明无理旋转von Neumann代数～Rθ∈()B(l2(Z×Z))酉等价于一个超有限的，II1型因子A()αZ来说明它的标准表示空间有由酉算子构成的正规正交基.　　 接下来研究高维的情形。设GA，b1，…，bn是由Rn上的平移作用tbi(i=1，…，n)和膨胀作用dA所生成的群，其中A是Mn(R)中的可逆矩阵，bi∈Rn，i=1，…，n，群运算是一一映射的复合运算。令Hn=L2(Rn)，An={Mf：f∈L∞(Rn)}，α是群GA，b1，…bn在An上诱导的*-自同构表示，则得到离散交叉积An()αGA，b1…，bn.首先证明了交叉积An()αGA，b1…，bn.是内射的.其次讨论交叉积An()αGA，b1…，bn.为因子的条件，这比一维的时候要复杂得多.本文循序渐进地证明了当矩阵A是对角阵，对角元素属于N{1}时，如果存在一一映射，γ：{1，2，…，n}→{1，2，…，n)使得矩阵B=(b(1)，…，bγ(n))满足BA=AB，则群GA，b1，…，bn遍历地作用在Rn上.当矩阵A为n阶实对称阵且酉等价于对角阵mIn，m∈N＼{1}时，群GA，b1，…，bn遍历地作用在Rn上当且仅当向量组{bk)mnk=1的秩为n.最后证明了当群GA，b1，…bn的子群G0A，b1，…，bn遍历地作用在Rn上时，交叉积An()αGA，b1，…，bn为III型因子当且仅当｜det(A)｜≠1.更进一步，当｜det(A)｜<1时，交叉积An()αGA，b1，…，bn是III｜det(A)｜型因子；当｜det(A)｜>1时，交叉积An()αGA，b1，…bn是III1/｜det(A)｜型因子。