在许多科学与工程计算中经常必须数值求解矩阵的特征问题.本文重点讨论研究有关Hamilton矩阵的特征问题,该问题对代数Riccati方程的求解、线性二次最优控制问题的求解、求矩阵的实的和复的稳定半径[22]、计算传输矩阵的H<,∞>范数<[28]>、在计算化学的线性相应理论中,计算Hamilton矩阵按模最大的部分特征值及相应的特征向量<[68]>具有重要实际意义.寻找一个稳定的有效的保结构的求解Hamilton特征问题的算法以及如何稳定有效地求解大规模Hamilton矩阵特征问题的辛Lanczos算法一直是数值界迫切需要研究的课题.课题的研究涉及到数值分析,矩阵计算,抽象代数,控制论等重要学科.本文正是在这一指导思想下,进行了以下四方面的研究:1.研究了特殊辛Householder矩阵和特殊辛Givens矩阵在有效的、数值上稳定的、保结构的计算实代数Riccati方程所对应的Hamilton矩阵的稳定的不变子空间的QR型算法中的消除失稳作用.给出了特殊辛Householder矩阵和特殊辛Givens矩阵中的旋转角的选取策略.2.本文提出了两种策略,一个叫消失稳策略,另一个称为预处理技术.在消失稳策略中,通过求解减比方程和回溯以克服Bunse-Gersmer和Mehrmann提出的SR算法的严重失稳和中断的发生.预处理技术可以大大提高算法的稳定性,减少回溯的次数.消失稳策略的实施代价和整个算法的运算量相比很低,而计算得的特征值具有非常高的精度.数值算例展示所提算法的稳定性和有效性.3.对文献[16]中使用的一种形为S=I<,2n>-wwJ的随机辛阵的性质进行了研究.证明了1)其可以通过正交相似变换化为一种特殊的Schur标准型:2)其条件数为一与ω无关的常数;3)该常数仅为(3+√5)/2.这一研究对有效地使用这种随机矩阵具有一定的意义,例如,可以利用S构造特征值已知的Hamilton矩阵或辛矩阵.4.给出了求解大规模、稀疏Hamilton矩阵特征问题的辛Lanczos算法的舍入误差分析.该分析表明辛Lanczos算法在无中断情况下,保Hamilton结构的限制并没有破坏非对称Lanczos算法的本质特性.类似于Paige针对对称Lanczos算法的关于计算出的Lanczos向量正交性的损失与Ritz值收敛的关系的理论分析,讨论分析了辛Lanczos算法计算出的辛Lanczos向量的J-正交性的损失与Ritz值收敛的关系.结论表明,当某些Ritz值开始收敛时,计算出的辛Lanczos向量的J-正交性损失是必然的.