代数图论是利用图的关联矩阵的代数性质研究图的一个数学分支,而图谱理论是代数图论的一个重要分支,它是研究图的各种关联矩阵的谱及其与图的性质之间的关系的理论.多年来对图谱理论的研究一直处于非常活跃的状态,也取得了许多成熟和重要的成果及应用.其中对图的拉普拉斯矩阵及其相关的图不变量的研究是一个非常重要的内容.本文主要应用图论和代数等方法对图的Laplacian Estrada指数,图能量,拉普拉斯能量,无符号拉普拉斯能量以及图的相关矩阵的Smith标准形共五个方面的问题进行了研究.本论文共分为四章.第1章是绪论,简要介绍了图谱理论的相关概念和基本知识,以及本文将讨论的主要问题.第2章利用门槛图的Ferrers模型分别确定了(n,m)-连通门槛图中具有最大和最小Laplacian Estrada指数的图.此外还给出了非连通门槛图中的结果.并进一步证明了门槛图中具有最大Laplacian Estrada指数的图就是文献[20]中提出的图Snm.最后证明了该最大值图是由其拉普拉斯谱唯一确定的.第3章中,在图的边界能量方面,证明了对每个n ≥ 3以及p ≥ 1,(如果n = 2则p ≥ 2),都存在n-1个两两不同谱的顶点数为pn2的门槛图与完全图Kpn2等能量.从而将文献[38]中的结果统一起来,并推广到更为一般的情况.最后给出了顶点数n ≤ 23的所有边界能量门槛图和形如0p1qos1t的边界能量门槛图,其中p + q + s + t = n,n 100.在图的L-边界能量方面,对L-边界能量图边数的极值情况进行了刻画,并确定了顶点数n≤ 10的连通非完全L-边界能量图.我们还提出了 Q-边界能量图的概念,构造了三类Q-边界能量图,对Q-边界能量图边数的下界以及给定边数时顶点数的上下界进行了讨论,最后确定了顶点数n ≤10的连通非完全Q-边界能量图.第4章讨论了门槛图的邻接矩阵和距离拉普拉斯矩阵的Smith标准形.根据门槛图的构造序列给出了邻接矩阵的Smith标准形以及距离拉普拉斯矩阵的近似Smith标准形.