图滤波器组是图信号处理的热门研究方向之一,广泛应用于图像处理、生物医学网络以及无线传感器网络中。与传统滤波器组类似,图滤波器组具有良好的频率划分特性,能将信号不同的频率分量划分到不同的通道以便进行单独的处理。目前已有很多方法去研究图滤波器组的设计与实现。在M通道图滤波器组的研究中,有两个基本问题值得关注。一个是目前M通道图滤波器组的研究并没有涉及到关于非多项式形式滤波器的设计,也没有考虑到非均匀频谱划分的情况。目前M通道图滤波器组的设计主要围绕多项式形式的子带滤波器展开,通过多项式逼近的方法去设计图滤波器,进而根据图滤波器组的结构特性设计出整个图滤波器组。但在图滤波器中不仅有多项式形式滤波器,还有非多项式形式的。另一个问题是在目前M通道图滤波器组的分布式方法研究中,并没有涉及到关于非多项式滤波器组的设计。随着社会的发展,非规则域数据的维度越来越高,分布式处理的需求也越来越高,因此图滤波器组的分布式实现是很有研究意义的。而目前的M通道图滤波器组的设计方法中,只有关于多项式图滤波器组的分布式实现方法,并没有深入分析非多项式形式滤波器组的分布式实现问题。同时,也没有考虑采样对算法的影响。因此,本文针对现有方法的不足,提出了非均匀和M通道过采样图滤波器组的设计及其分布式实现。1.首先,本文提出了一种M通道非均匀过采样图滤波器组的构造和设计方法。本文首先根据频率分布不均匀的特性,通过优化方法设计出近似高阶多项式滤波器的低阶非多项式滤波器。然后,在已知分析滤波器和采样矩阵的前提下,本文将图滤波器的重构问题归结为一个无约束的优化问题。由于直接求解优化问题会涉及大规模矩阵求逆,从而出现计算复杂度高的问题。为了避免这个问题,本文采用可分布式实现的预处理梯度法对优化问题进行迭代求解。仿真结果表明,本文提出的非均匀图滤波器组同时具备良好的频率选择特性和顶点域局部特性,且能实现完全重构。本文算法对现有的顶点域采样方法均适用。与现有的设计算法相比,本文算法有着更快的收敛速度,这验证了加入预处理算子能有效地加快迭代方法的收敛速度。2.本文接着提出了一种设计M通道过采样图滤波器组的新方法。该方法采用分布式拟牛顿法对优化问题进行迭代求解,有效地解决了分布式一阶方法迭代速度慢的问题。给定分析滤波器和采样矩阵,本文的重构问题可归结为一个最小二乘问题。根据图结构的稀疏特性,将总的优化问题转换为每个节点上的子优化问题,对局部解进行融合平均,最后通过迭代消除误差。本文利用与图结构特性相关的矩阵去近似海森矩阵的逆,且这个近似矩阵的伪逆等同于局部小矩阵的求逆,因此拟牛顿法能在每个节点上单独计算,故能实现分布式处理。理论证明了本文算法是线性收敛的。仿真结果表明,本文方法能实现完全重构,且具有更快的收敛速度。与其他方法相比,本文方法在图信号去噪,特别是图像去噪中,都有着更好的去噪效果。