【摘 要】
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设Z与N*分别表示全体整数与全体正整数组成的集合,p为奇素数。求不定方程的整数解是一个有着悠久历史且内容丰富的数论问题。其中不定方程x2+py2=n(n∈Z)的整数解问题还与非唯一分解整环Z[(?)]中不可约元的存在条件有着密切的关系。1991年,潘承洞等在书籍《初等数论》中给出了不定方程x2+y2=n(n∈Z)存在整数解的充要条件,自此展开了对此类不定方程的研究。2013年,林桂娟等就不定方程x
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设Z与N*分别表示全体整数与全体正整数组成的集合,p为奇素数。求不定方程的整数解是一个有着悠久历史且内容丰富的数论问题。其中不定方程x2+py2=n(n∈Z)的整数解问题还与非唯一分解整环Z[(?)]中不可约元的存在条件有着密切的关系。1991年,潘承洞等在书籍《初等数论》中给出了不定方程x2+y2=n(n∈Z)存在整数解的充要条件,自此展开了对此类不定方程的研究。2013年,林桂娟等就不定方程x2+5y=n(n∈Z)进行了研究,2018年,管训贵等用相同的方法研究了不定方程x2+13y2=n(n∈N*),给出了整环Z[(?)]中不可约元的结构定理。本文在上述研究的基础上,运用同余理论、因式分解、数学归纳法和Legendre符号等基础知识,得到了不定方程x2+7y2=n(n∈N*)有互素的正整数解的充分必要条件,证明了方程有解时,恰有2m-1个解,这里m是n的不同素因子的个数,并给出了解的形式。最后利用结论证明了整环Z[(?)]中不可约元的充要条件。
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