【摘 要】
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如果某个微分方程定解问题的所在区域的（部分）边界是未知的,需要作为解的一部分被确定,那么通常称这样的定解问题为自由边界问题.自由边界问题已经在物理、化学、生物以及医学等方面得到了广泛的应用.自由边界问题不仅比固定边界问题更切合实际,而且其相关理论也具有重要意义.大多数经典动力系统所涉及的都是空间结构的局部作用（局部扩散或短程效应）.然而,空间结构的非局部作用（非局部扩散或长程效应）普遍存在并且非常
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如果某个微分方程定解问题的所在区域的（部分）边界是未知的,需要作为解的一部分被确定,那么通常称这样的定解问题为自由边界问题.自由边界问题已经在物理、化学、生物以及医学等方面得到了广泛的应用.自由边界问题不仅比固定边界问题更切合实际,而且其相关理论也具有重要意义.大多数经典动力系统所涉及的都是空间结构的局部作用（局部扩散或短程效应）.然而,空间结构的非局部作用（非局部扩散或长程效应）普遍存在并且非常重要.已有研究结果表明,对于同一个反应项,分别采取局部扩散和非局部扩散,其固定区域上的初边值问题有明显不同的动力学性质.本文研究几类带有局部或非局部扩散的自由边界问题,以期发现这两种不同的扩散方式在自由边界问题上所表现出来的异同之处.本文的内容如下:第一章介绍问题的研究背景和现状,以及本文的主要研究内容.第二章研究一个带有非线性感染率和自由边界的病毒传播模型.我们假定细胞没有扩散效应,而病毒颗粒采取局部扩散策略.因此,该模型由两个常微分方程和一个反应扩散方程的自由边界问题耦合而成.因此,该模型也可视为带退化扩散的反应扩散方程组的自由边界问题.首先利用压缩映射原理、常微分方程基本理论和抛物方程基本理论获得了整体解的存在唯一性和解的一致估计;然后利用椭圆和抛物方程基本理论以及迭代方法,得到解的长时间性质;最后通过构造上解和利用比较原理来获得蔓延和熄灭的判别依据.第三章探讨一个非局部扩散方程的自由边界问题的整体解存在性和有限时刻爆破.首先利用常微分方程基本理论和压缩映射原理证明局部解的存在唯一性;而后利用特征函数和比较原理给出解在有限时刻爆破的判据,以及当爆破发生时爆破率和爆破时间的估计;再通过构造上解和利用比较原理,证明当初值足够小时解整体存在且指数衰减.最后,将所获得部分结论推广到具有非局部扩散和非局部反应项的情况.在第四章,我们提出并研究两个一端固定而另一端是自由边界的非局部扩散问题.这两个问题在固定边界所满足的条件不同.具体来说,对于第一个模型,假定物种可以越过固定边界,但是一旦越过后,物种就会马上灭亡;对于第二个模型,类似于经典的齐次Neumann边界条件,假定物种不会越过该固定边界.当非线性项是Fisher-KPP型时,给出整体解的存在唯一性,蔓延-熄灭二分性和判别条件.特别地,当蔓延发生时,对于第一个模型,如果条件（J1）成立,得到传播速度的可能最优估计;如果（J1）不成立,证明加速传播发生.对于第二个模型,证明自由边界具有有限传播速度当且仅当条件（J1）成立.最后,考虑具有一个自由边界和非局部扩散的L-V捕食系统.第五章继续研究上一章里提出的第二个模型.首先通过构造上下解和利用比较原理,获得了比第四章的结果更精确的长时间行为.然后,证明了当自由边界的移动系数趋向于正无穷时,该自由边界问题的极限问题是一个半空间R+上的固定区域问题.而当移动系数趋向于0时,极限问题是区域[0,h0]上的固定区域问题.其次,针对具有紧支集的核函数,给出了自由边界更精确的估计.对于在无穷远处受|x|-γ（1＜γ≤2）控制的核函数,获得了自由边界和解的大范围收敛性.第六章考察一个具有非局部扩散和自由边界的互惠共生模型.在本章中,先是考虑具有一个自由边界的情况,然后再把所获得的结论推广到具有两个自由边界的情况.不但得到了解的整体存在唯一性,蔓延-熄灭二分性和其判别依据.重要的是,通过构造上下解和比较方法,获得了解的大范围收敛性以及细致的分类.
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