粒子在位势中的运动服从薛定谔方程这一经典的数学物理方程,后者在量子力学、量子化学和凝聚态物理等广泛领域内有着重要应用。无序势阱薛定谔方程的特征函数会出现安德森局域化现象。以分片常数随机势阱模拟无序势阱,用传统有限元方法对大规模分片常数势阱特征值问题及相应源问题进行求解,其计算难度会随着问题维数及规模的增大而急剧增加,最终止步于一维及二维的中小规模算例。本文针对分片势阱特征值问题及源问题在大规模及三维情况下数值求解难度极大的情况,发展了该两类问题大规模数值研究的谱元方法,验证了安德森局域化现象,并成功发展了三维情况下以源问题的解预测特征解的理论与算法。本文利用谱元法高效逼近格式及张量积生成的基函数的特性,对多维离散问题的大规模矩阵进行了分块优化处理,得到了对相应代数系统的快速算法。结合谱元法数值格式与快速算法,本文构造了高效数值方法,得以高精度低代价地实现大规模及多维情况下,安德森局域化现象及源问题预测特征解的数值验证,从而填补了三维大规模情况下以源问题的解预测特征解的空白,发展了相关的经验性理论。总之,本文发展了大规模分片常数随机势阱的相关问题的谱元法,得到了一种优化的高效数值实现算法,成功地完成了三维情况下的特征值问题及源问题的数值求解。数值实验结果验证了安德森局域化现象,并证实了三维情况下以源问题的解预测特征解的理论依然可靠。