偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用很广泛，许多工程技术问题须转化为求解偏微分方程的问题，因此对于偏微分方程的研究具有重要的实际意义.其中具有Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程已经引起国内外许多数学工作者的广泛关注，并取得了许多重要的成果.本文在此基础上继续研究了具有Hardy-Sobolev临界指数的椭圆方程正解的存在性，主要分为两个部分:　　1.讨论了Dirichlet-Neumann混合边值条件下带有Hardy-Sobolev临界指数的奇异椭圆方程正解的存在性，在条件1＜q＜2*下，首先利用变分方法将方程解的存在性转化为求相应泛函临界点的存在性，其次利用Ekeland变分原理得到泛函的一个极小化序列，从而克服了紧嵌入丧失的问题，最后利用一个变形的山路引理证明了方程解的存在性.　　2.讨论了带有Hardy-Sobolev临界指数的半线性椭圆方程多重正解的存在性，首先利用变分方法将方程解的存在性转化为求相应泛函临界点的存在性，其次利用Ekeland变分原理和山路引理得到方程的第一个解，最后利用一个改变了的泛函及反证法得到方程的第二个解.