随着科学技术的发展,用于描述实际问题的数学模型日益复杂,通常都包含有多个尺度,因而多尺度建模与多尺度计算方法已经成为科学与工程计算领域最重要的研究方向之一,而奇异摄动问题的渐近分析与数值求解则是多尺度建模中的一个重要研究课题。尽管奇异摄动问题会呈现出一定的非典型性,但它可以帮我们更好地对物理问题进行定性和近似定量的理解。本文主要研究奇异摄动特征值问题与奇异摄动电报方程的渐近分析与数值求解。奇异摄动特征值问题（SPEPs）来源于半经典极限下的稳态Schr?dinger方程,在理论物理、物理化学等领域有着极其重要的应用。我们研究了SPEPs的渐近性质与高效数值解法。我们证明了对于分片光滑的势能函数V（x）,在ε→0+时,特征值将以（εm）的速度衰减到V（x）的最小值,其中m与V（x）在最小点处的性质有关,而相对应的特征函数则会集中在V（x）的最小值点的附近。针对一维和二维的SPEPs,我们利用量身定做的有限点方法（TFPM）构造高效的数值格式去求解。文中的数值算例验证了我们的渐近分析结果的正确性与TFPM格式的可行性与高效性。奇异摄动电报方程（SPTE）源于双曲型热传导方程,也可以用于修正传统的扩散方程与反应扩散方程,可以更好地解释实验结果。我们研究了无界区域上奇异摄动电报方程的渐近分析与数值求解。我们首先利用匹配渐进展开与Van Dyke匹配原理得到SPTE解的首项一致有效渐近展开,进而分析了解的导数的渐近性质。之后,我们引入了人工边界Γ±来得到一个有界的计算区域?0,然后利用人工边界方法得到了Γ±上精确的人工边界条件,从而可以把初始的无界区域上初值问题约化为一个有界区域上的初边值问题。我们证明了在?0上初始问题与约化问题是等价的。我们引入了半离散的Galerkin有限元格式与Crank-Nicolson Galerkin格式来求解约化问题并证明了相应格式的稳定性与一致收敛性。我们给出的数值算例验证了人工边界的有效性与理论分析结果的正确性。