【摘 要】
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本文基于自然数集N上的非负函数h,讨论了定义在离散时间正规鞅平方可积泛函空间L~2（M）中的广义计数算子的分析性质及其表示方式,具体内容如下:首先,对于N上给定的非负实函数h,定义了L~2（M）中的稠定线性算子Nh,称之为广义计数算子,讨论表明该算子类具有单调性.另一方面,若h可和,则L~2（M）中的广义计数算子具有强收敛性.其次,讨论了广义计数算子Nh的表示问题,得到了以下四种表示方法:（1）N
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本文基于自然数集N上的非负函数h,讨论了定义在离散时间正规鞅平方可积泛函空间L~2（M）中的广义计数算子的分析性质及其表示方式,具体内容如下:首先,对于N上给定的非负实函数h,定义了L~2（M）中的稠定线性算子Nh,称之为广义计数算子,讨论表明该算子类具有单调性.另一方面,若h可和,则L~2（M）中的广义计数算子具有强收敛性.其次,讨论了广义计数算子Nh的表示问题,得到了以下四种表示方法:（1）Nh的谱表示:广义计数算子Nh以h-计数测度#h的值域为其点谱;（2）Nh的“对角化”表示:Nh可表示为L~2（M）的标准正交基{Zσ;σ ∈ Γ}所生成一维对角化正交投影算子的加权极限;（3）广义Skorohod积分-广义随机梯度表示:Nh可表示为互共轭算子δh和▽h的复合算子;（4）对N上任意非负函数h,可构造一列有界广义计数算子.而Nh是该有界广义计数算子的强极限;当h可和时,Nh是这列有界广义计数算子的一致极限.最后,针对N上不同类型的非负函数h,当指标不同时,Nh关于广义Skoro-hod积分δh-广义随机梯度▽h的表示问题在L~2（M）的不同稠子空间中成立.可分为以下四类情形:（1）若h是N上的常值函数,则Nh与计数算子N有相同的定义域,在DomN上对任意指数α ∈R的表示;（2）若h是N上非负可和函数,对α ∈（-∞,1/2]和α∈（1/2,+∞）在L~2（M）的不同稠子空间上的表示;（3）若h是N上有正下界的非负实函数,对α∈（-∞,0）和[0,+∞）,Nh关于δh,▽h的复合表示在L~2（M）的不同稠子空间上成立;（4）Nh关于交换代数P+（N）上函数逐点乘积对广义Skorohod积分δh和广义随机梯度▽h的表示是可交换的.
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