染色问题及许多图理论都是源自四色问题的研究.另外染色问题在组合分析和实际生活中有着广泛的应用，是图论研究中一个很活跃的课题，各类染色问题被相继提出并加以发展、应用. 全染色的概念是对点染色和边染色的推广，图的所有元素(顶点和边)都将染色且任相邻或关联的元素染色不同.全染色是图论染色的一个传统问题，由Vizing(1964)[23]和Behzad(1965)[24,25]各自独立提出的，同时分别给出全染色猜想.点可区别全染色和邻点可区别全染色[2是染色问题的新生点，近来由张忠辅提出并给出了相应的两个猜想. 本文一部分主要探讨了Mycielski构造图和Cartesian乘积图在全染色、点可区别全染色及邻点可区别全染色方面与原基础图的关系，从而也得到了它们满足全染色猜想和邻点可区别全染色猜想的一些充分条件；另外还得到特殊图类(如：Pk+1n,n,Gk+1n,n,Ck+1n,n(k=0，1，…，n-1，n≥3)，Gn，n;W2n)在此染色方面的一些结果.另一部分首先考虑了Kneser图和Ga，b图的m-层色数,Kneser图只解决了部分m-层色数，Ga,b图的m-层色数本文中已完全确定；其次讨论了Cartesian乘积图的分数染色，目前只解决了部分图乘积的分数色数；最后通过分数全染色和分数全团的对偶关系和分数全染色的概念探讨了几类特殊图(如：圈，完全图，完全二部图，平衡完全r-部图)的分数全色数. 在本文中，我们主要得到结论如下：我们称由Mycielski作图法[21]得到图为Mycielski图.给定图G，顶点集V={v1，v2，…，vn}，图G的Mycielski图(记为M(G))定义为：顶点集V(M(G))=V∪{v1，v2，…，vn，ω}，边集E(M(G))=E(G)∪{vivj|vivj∈E(G)，i，j=1，…，n}∪{viω|i=1，…，n}.定理2.1.1设G为n阶图.χT(G)≥n时，χT(M(G))≤χT(G)+△(G)；χT(G)＜n时,χT(M(G))≤n+△(G).推论2.1.2设G为n阶图.若△(G)=n-1且χT(G)=△(G)+1，则χT(M(G))=△(M(G))+1.定理2.1.3设G为n阶图.χvt(G)≥n时，χvt(M(G))≤xvt(G)+△(G)；χvt(G)＜n时，χvt(M(G))≤n+△(G).定理2.1.4设G为δ(G)≥2的n阶图，尼为正整数.若χvt(G)≤△(G)+k且△(G)+k≥n，则χvt(M(G))≤△(M(G))+k.推论2.1.5设G为n阶图，k为正整数.若χat(G)≤△(G)+k且△(G)+k≥n，则χat(M(G))≤△(M(G))+k.推论2.1.6设图G满足推论2.1.4的条件，若邻点可区别全染色猜想对G成立，则M(G)也满足此猜想.进一步，若k=1，则上面两结论变成χvt(M(G))=△(M(G))+1和χat(M(G))=△(M(G))+1. 以下四个结论是关于Cartesian乘积图邻点可区别全染色的，对图G1=(V1，E1)和G2=(V2，E2)，它们的Cartesian乘积图G1×G2的顶点集为V1×V2，两顶点(v1，u1)和(v2，u2)相邻当且仅当或者v1v2∈E1且u1=u2∈V2或者v1=v2∈V1且u1u2∈E2. 定理2.2.2设G，H为两个图，k为正整数(k＞1).若△(G)+2≤χat(G)≤△(G)+k，χ’(H)=△(H)且χ(H)≤△(G)+k，则χat(G×H)≤△(G×H)+k. 定理2.2.3若图G满足邻点可区别全染色猜想，χ’(H)=△(H)且χ(H)≤χat(G)，则G×H也满足此猜想. 定理2.2.4设G，H为两个图，k为正整数(k＞1).若△(G)+2≤χat(G)≤△(G)+k且χ(H)≤△(G)+k，则χat(G×H)≤△(G×H)+k+1. 推论2.2.5设G，H为两个图，k为正整数(k＞1).若χat(G)≤△(G)+2且χ(H)≤χat(G)，则G×H满足邻点可区别全染色猜想. 设Pn=u1u2…un和Pn=v1v2…vn为两条路.在两路间逐次叠加匹配uivi，uivi+1，…，uivi+k，…,uivi+(n-1)(i=1，2，…，n，k=0，1，…，n-1，当i+k＞n+1时，i+k为modn意义下的加法)，这样可得到一系列图：P(1)n,n,P(2)n,n,…，P(k+1)n,n,…，P(n)n,n=Pn∨Pn. 设V1={u1，u2，…，un}，V2={v1，v2，…，vn}为两顶点集，u1u2…unu1和v1v2…vnv1为两个圈.类似的，在两部(V1，V2)间逐次叠加上述匹配，可以得到一系列正则二部图，记为：G(1)n,n，G(2)n,n，…，G(k+1)n,n,…，G(n)n,n=Kn,n.在两圈间逐次叠加同样的匹配，可得到一系列正则图：C(1)n,n，C(2)n,n,…，C(k+1)n,n,…，C(n)n,n=Cn∨Cn，且△(C(k+1)n,n)=k+3. 定理2.3.1χat(P(k+1)n,n)=△(P(k+1)n,n,)+2=k+5(k=0，1，…，n-1，n≥3). 定理2.3.2χat(G(k+1)n,n)=△(G(k+1)n,n)+2=k+3(k=0，1，…，n-1，n≥3). 推论2.3.3χT(P(k+1)n,n)≤△(P(k+1)n,n)+2，χT(G(k+1)n,n)≤△(G(k+1)n,n)+2，即P(k+1)n,n,G(k+1)n,n满足全染色猜想. 定理2.3.4χT(C(k+1)n,n)≤△(C(k+1)n,n)+2=k+5(k=0，1，…，n-1，n≥3). 定理2.3.6χat(W2n)={6n=3,4{n+1n≥5推论2.3.7W2n满足全染色猜想，而且当n≥5时χT(W2n)=△(W2n)+定理2.3.8若G为边连通度λ(G)=1的图，设u0v0为其任意割边，χat(G)={△(G)+2若d(u0)=d(v0)=△(G)且χat(G1∪u0v0){=χat(G2∪u0v0)=△(G)+1{max{χat(G1∪u0v0),χat(G2∪u0v0)}否则若两顶点为不交集合，则两顶点相邻.Ga，b图为一类循环图[29]，顶点集为{0，1，…，a-1}，顶点i，j相邻当且仅当b≤|i-j|≤a-b.Kneser图和Ga，b图分别在分数染色和圆染色中起着重要的作用，它们在其中所扮演的Stahl[17]提出猜想：对任意正整数m，χm(Ka：b)=a-2b+2m均成立.[14]已证明当1≤m≤b时猜想是成立的，下面的定理将说明m＞b时定理3.1.2χmb(Ka：b)=ma(a，b，m为正整数). 定理3.1.4设a，b，m为正整数,χm(Ga,b)=χ(Gma,b)=[ma/b]. 定理3.2.3若G含Hamilton圈，H为二部图，则χf(G×H)=χf(G). 定理3.2.4设a,b为正整数且a≥2b，若χ(H)≤「a/b」，则χf(Ga,b×H)=χf(Ga，b)=a/b. 引理3.3.1设G为一个图，若χ"(G)=△(G)+1则χ"f(G)=χ"(G)=Δ(G)+1定理3.3.2设Gn为n阶的圈，k为正整数，则χ"f(Cn)={3n=3k{3+1/kn=3k+1{3+1/2k+1n=3k+2定理3.3.3[12]对完全图Kn;χ"f(Kn)=χ"(Kn)={nn是奇数{n+1n是偶数定理3.3.4[12]对完全二部图Km，n,χ"f(Km,n)=χ"(Km,n)={max{m,n}+1m≠n{n+2m=n定理3.3.5[13]χ"f(K(r，n))=χ"(K(r，n))={Δ(K(r,n))+2若r=2或r为偶数且n为奇数{Δ(K(r,n))+1其它