众所周知，数论函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关.因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用!著名的美籍罗马尼亚数学家Florentin Smarandache一生中引入了许多十分有趣的数列和数论函数，并提出了许多问题和猜想.他在1991年发表的《Only Problems，Not Solutions》一书中提出了105个关于数论函数和序列的问题和猜想，很多学者都在研究这些问题和猜想，并且有些已经得到了一些十分重要的结果. 本文研究了一个特殊数论函数的均值估计问题，以及一些和Smaran-dache数列相关的问题.具体说来，本文的主要成果包括以下几方面： 1.研究了一个特殊数论函数及其均值，这个特殊数论函数是由数论函数en(n)，及数论函数￣sk(n) 构成的一个复合函数，并给出了关于这个函数的均值，得到了一个较好的渐近公式.其中ep(n)为满足条件Pα｜n的最大非负整数α且Sk(n)￣为满足条件mk ｜n的最大正整数m. 2.Smarandache Ceil函数Sk(n)在初等数论的研究中具有很重要的地位本文利用初等方法研究了关于Smarandache Ceil函数的一个方程的可解性。 3.对于无穷级数的研究是很有意义的.本文主要利用初等方法研究了关于几个特殊函数的无穷级数的收敛性质，并给出了一些有趣的等式.