测度熵从整体上给出了动力系统复杂程度的一种量度,而Lyapunov指数则在局部从几何角度给出动力系统对初值依赖的敏感程度的描述.这些量通过著名的Ruelle不等式、Pesin熵公式联系起来.Pesin公式的成立要求系统满足一个充分必要条件,称为SRB条件;这个条件虽然十分深刻,却很难验证.在SRB条件不成立的情况下,只有Ruelle不等式成立,它只提供了部分信息.Ledrappier与Young的工作[16]是此领域内的一个突破,他们对微分同胚证明了横截维数的存在性,并建立了一个一般的熵公式.这个公式在遍历理论和维数理论中有深远的影响.该文目的是重新考察(可逆的)确定性与随机微分同胚这两种动力系统的一般的熵公式及其相应的Eckmann-Ruelle猜测问题,从而给出完整的证明.该文首先在第1章中介绍相关背景.接着在第2章中给出[16]中熵公式的(修改了的)详细证明.此后,运用第2章中的结论与技巧,我们在第3章中给出Eckmann-Ruelle猜测的严格并完整的证明.我们的证明采纳了与[3]中相同的策略,与此同时采用了许多不同的技术手段,使整个证明不再出现错漏.这样,我们就有可能在第4章中进一步把[16]的结果推广到独立同分布的随机微分同胚系统.最后在第5章,我们把第4章中结果再推广到平稳的随机微分同胚系统,然后详细证明了此种版本的Eckmann-Ruelle猜测.