本文主要发展了求解气体动理学方程的任意阶数值矩方法．气体动理学是尺度介于流体力学和分子动力学之间的一种描述气体运动状态的方式，在稀薄气体动力学、微流、等离子体等众多高科技领域中均有重要应用．本文基于Grad于1949年所提出的矩方法，首次系统地研究了任意阶的矩方程组，实现了连接连续介质模型与动理学模型的方案，从而为气体动理学的建模和计算开辟了一条全新的途径．本文在推导一般情形下的Grad矩方程组的过程中，发现了矩展开的特殊性质，并借此设计出了一套对任意阶矩方程组具有统一形式的数值格式．该数值格式采用一种新型的通量计算方法，使得计算效率较传统方法有了本质上的提高．这一算法的提出使得对高阶矩方程组的数值计算成为了可能，更使得矩方程组本身可看作对Boltzmann方程中速度变量进行离散而得到的半离散方程组．由于Euler方程组可认为是具有最少自由度的Grad矩方法，该方案使得各阶Grad矩方程组成为了连接气体动力学与气体动理学的一系列可计算模型．本文称这一方法为“数值矩方法”．Grad矩方法逼近Boltzmann方程的效率极高，但却有着致命的缺陷：Grad矩方程组在描述激波结构时解中可能出现间断，且当其应用于远离局部平衡态的流体时，将由于全局双曲性的缺失而导致方程组失去适定性．这些缺陷使得很长一段时间中矩方法的发展缓慢而艰难．针对这两点，本文从两个角度对Grad矩方法做出了实质的改进：提出了一种使任意阶矩方程组均可获得全局双曲性的统一的矩封闭方案．本文从理论上证明了这一类矩方程组的全局双曲性，从而在适当条件下，这一系列矩方程组具有局部适定性．同时，该系列全局双曲型矩方程组的所有特征速度均可解析地写出，基于这些特征速度的表达式，本文提出了任意阶矩方程组固壁边界条件，这些边界条件的个数恰好与双曲性所要求的边条件个数相匹配．通过对全局双曲型矩方程组特征结构的分析，可发现它们与Euler方程组具有高度的相似性，因而这一系列矩方程组可成为连接气体动力学与气体动理学一座新的桥梁．从计算效果上看，这一改进大大提高了矩方法作为数值方法时的健壮性，使得矩方法有能力处理具有强非平衡效应的问题．借助Maxwellian迭代和渐近分析的技术，对一般的矩方程组实现了正则化．该正则化为矩方程组添加了具有二阶导数形式的耗散项，方程组整体呈现抛物型系统的性质（具有无穷传播速度），从而能够去除其描述较大马赫数的激波结构时解中的强间断，使计算结果有明显改进．这一性质使得正则化矩方程组对高马赫数流有潜在的应用．该系列模型从推导过程和方程组形式上，均与Navier-Stokes-Fourier (NSF)方程组相近，因而可以看成NSF方程组的推广，且随着矩数的增加，它们同样实现了气体动力学至气体动理学的过渡．对上述两类模型的数值计算均可在前文提及的数值矩方法的框架下进行，笔者已为这一算法开发了界面友好的程序包，并进行了大量的数值实验．数值结果显示，矩方法作为一种离散方案时具有明显的收敛性，全局双曲型矩方程组及正则化矩方法对Grad矩方法的改进也得到了数值的验证．