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Cahn-Hillard方程是一类非常重要的四阶非线性扩散方程，自提出以来在热力学，流体力学等实际问题中广泛得到应用。另一方面，间断有限元方法以及局部间断有限元方法在求解偏微分方程中有着良好的精度和效果，同样备受青睐。本文针对Cahn-Hillard方程的其中一种特例，即带有位势项的固体表面微滴渗透方程的数值求解方法进行了研究，针对位势项是否为零的两种方程分别提出了局部LDG方法，通过引入辅助变量将原有的具有非常数迁移率的四阶非线性方程改写为一阶方程组，再运用离散方法采用常微分方程的求解思路进行求解。 本文综合了理论和数值两方面进行讨论。 第二章主要对位势项为零的固体表面微滴渗透方程的特殊情况进行研究，给出了空间方向离散的办理三弱格式，通过引入Soblev空间等概念和工具对稳定性进行研究，同时引入算子运用投影的方法给出了误差估计。 第三章的内容由前一章发展而来，主要研究位势项不为零的Cahn-Hillard方程，此时因为位势项的增加导致解的存在性发生变化，因此首先引入物理解并在保证广义解存在基础上对解的稳定性进行了讨论，类似地给出了误差估计。 第四章主要内容为数值离散和实验计算，这里采用了传统的现实三阶TVD Runge-Kutta方法和半隐式预估校正法进行时间离散并进行对比。