非线性系统是描述非线性问题的主要模型.在非线性系统中,波动系统的理论研究是其中一个重要内容.而波动系统理论研究的一个主要环节就是寻求系统的可解条件.这种可解条件的方法研究作为非线性科学中的前沿课题和热点问题极具挑战性.目前虽然已经提出和发展了许多判断可解性的方法,但由于分析波动系统没有也不可能有统一而普遍适用的方法,因此继续寻找一些可行的方法依然是一项极有价值的工作.本文在对非线性波动系统现有判断可解条件方法进行了较为细致讨论的基础上,对四类有物理背景的波动系统的可解性和数值解从定性角度进行了深入的研究.结论如下:1.提出了一种有井深的位势井方法与改进的凹函数法相结合的整体可解性判断方法.具非线性源和非线性阻尼的耦合基尔霍夫波动系统存在多个复杂结构项,已有的可解性判断方法大都是基于较小初值讨论的,而基于较大初值的处理方法只适用于结构简单的波动系统.因此本文提出了针对结构复杂的基尔霍夫波动系统的可解性判断方法,并利用基于近似解理论和分析手段相结合的方法对系统的整体存在,非整体存在及衰减行为进行了不同能量级别的分析.为研究结构更复杂的波动系统的可解性条件和数值求解提供了可行方案;2.利用弱反耗散流微调能量中的势能部分,提出了一种基于记忆性能的耦合基尔霍夫型波动系统的可解判断方法.已有的此类系统的可解判断方法大都是基于无记忆项形式展开的,系统的辅助泛函在设定中有明确的表达形式,而在本文粘弹性波动系统中,记忆项具有时滞性特征,和其它结构项没有明显的关联.为了适应课题的需要,设计该反耗散方法,并对上述方法进行了理论验证,结果表明所设计的反耗散方法能有效的找到系统的高能爆破条件,并且记忆项在判断可解性的正则式中起到了好的调节作用;3.提出了一种使用变分法,尺度放缩法,改进的凹函数理论相结合的广义Bq波动系统的可解判断方法,基于类最优理论划分了能级空间.已有的Bq波动系统的可解判断方法大都是基于对源项条件较强限制下实现的,这种设计方法主要是利用解的存在原理给出源项的约束条件,利用非存在性原理处理源项,可解性条件并不要求一致.在本文的Bq波动系统中,源项的限制是统一的,不能分开来讨论.因此本文提出了针对统一源项的可解性条件判断方法,对一定初值条件下的Bq波动系统进行了最佳条件的处理.将已有结果与本文结果进行对比,表明所设计的方法是所有能量水平分类中最优的;4.利用有限差分方法建立了一种基于待定系数的守恒格式,从理论上证明了该守恒格式具有良好的性能.已有的Bq波动系统针对高阶色散和非线性源给出离散格式时,不考虑数值解的理论性质,这种离散方法主要对系统各项进行差分变换,而在本文Bq波动系统中,守恒格式对各项的处理要求较高.为此本文提出了针对能量守恒格式的有限差分待定系数法,对高阶色散和非线性源的差分形式进行恰当处理,并对上述方法进行了理论分析.结果表明所设计的有限差分方法能有效的找到复杂结构项的差分形式,得到较好的收敛阶,并有助于建立解的稳定性性质;5.提出了一种基于位势井理论与乘子法及凹函数法相结合的判断系统可解性的方法,找到了非线性耗散波动系统的整体存在与非存在的门槛条件.非线性项对离散格式影响较大,而它又是系统构成不能忽略的结构,所以非线性项的离散格式设计首要的是保证格式的有效性.本文介绍了两种基于化非线性为线性和迭代理论的有限差分法与有限体积法,然后就所设计的差分格式和多重积分有限体积格式进行了算例实践,并与已有可靠的算例结果进行对比,佐证了格式的有效性和可行性.