体边对应在拓扑能带理论的发展过程中起到了至关重要的作用。一般而言,开边界系统中拓扑非平庸的边界态可以由定义在布洛赫哈密顿量中的拓扑不变量来忠实刻画。例如,整数量子霍尔效应中的手征边态可以由定义在整个二维布里渊区中贝里曲率的积分,也就是陈数,来精确地预测。最近,传统的体边对应在非厄米体系中受到了挑战。一些非厄米哈密顿量的开边界能谱完全不能用周期边界能谱来近似,与之相应的拓扑非平庸边界态也不再可以布洛赫哈密顿量所定义的拓扑不变量来刻画。进一步的研究发现,在这类破坏体边对应的非厄米系统中,所有的开边界的本征态可以不是拓展态,而是局域在边界上的局域态,这种现象被称为非厄米趋肤效应。为了恢复体边对应,人们把布里渊区的概念推广到了开边界体系,提出了所谓的广义布里渊区的概念。在厄米系统中,广义布里渊区和布里渊区是重合的,但是在非厄米系统中,它们可以不重合。借助于广义布里渊区,人们发现开边界体系的非平庸边界态可以由定义在广义布里渊区上的拓扑不变量来忠实的描写。本论文的第一个主题便是讨论非厄米系统中的体边对应以及非厄米趋肤效应。我们首先证明,在非厄米系统中下面一些概念及现象是等价的:(1)不同边界条件下能谱的巨大差异性;(2)非厄米趋肤效应的出现;(3)广义布里渊区与布里渊区不重合。接着我们证明,上述三个等价的现象都可以由布洛赫哈密顿量能谱的拓扑来刻画。我们详细的讨论了广义布里渊区与非厄米能带的几何含义,并且提出一个解析计算广义布里渊区的方法,也就是辅助广义布里渊区的概念。并且,我们详细分析了非厄米趋肤效应和对称性的关系,并且指出如何在只引入在位耗散这种实验可控的非厄米项的前提下,去实现非厄米趋肤效应。最后,我们讨论了自能修正和非厄米哈密顿量的关系,并且指出在周期驱动近邻超导系统中,自能的线性和非线性效应将起到非平凡的作用。如果广义布里渊区和布里渊区完全重合,那么,开边界系统可以由布洛赫哈密顿量近似。本论文的第二个主题便是研究在这类系统中非厄米能带简并点和简并线的拓扑性质。这其中包括一类特殊的非厄米能带简并点或者简并线,也就是奇异点或者奇异线。这这些奇异点或者奇异线上,非厄米哈密顿量变得不可对角。我们首先证明在二维非厄米系统中,简并点以及奇异点的拓扑荷的定义问题,在给出了正确拓扑荷的定义,我们证明了二维非厄米系统中的稳定的奇异点一定是成对出现的。这也就是所谓的no-go定理。在三维系统中,我们证明稳定的非厄米能带简并是一些三维布里渊区中的奇异线。这些奇异线可以相互之间嵌套扭结在一起。因此,如何刻画这些拓扑非平庸的扭结相是一个有趣的问题。我们首先引入琼斯多项式来作为扭结不变量来系统的分类这些非平凡的奇异线。最后,我们证明,在扭结相变点附近,由微扰生成的扭结相的琼斯多项式完全取决于奇异线在每一个相交点附近的局域演化。