本文主要研究复分析在高维非交换代数上的推广，其中包括以下三个方面:　　(1)slice正则函数的几何函数论;　　(2)slice正则函数的函数空间论;　　(3)四元数Hilbert空间中的测不准原理。　　全文共分为五章。　　第一章是绪论，介绍了本论文的研究背景和所取得的成果。　　第二章给出了本论文中常用的符号、概念和结论。　　第三章主要研究了slice正则函数的几何函数论。本章首先在四元数slice正则函数中定义了slice星形函数，slice近凸函数，slice螺形函数，证明了Bieberbach猜测对slice近凸函数是成立的，对slice星形函数建立了Fekete-Szeg(o)不等式、增长定理、掩盖定理和偏差定理。其次，本章研究了一类交错代数上slice正则函数的增长定理和偏差定理.然后，针对四元数slice正则函数建立了三类Bloch-Landau型定理并推广了经典的Bernstein不等式。最后，本章围绕Schwarz引理在高维中的推广。特别地，研究了slice Clifford分析以及多次调和函数中的Schwarz引理及其边界行为。　　第四章研究了α-Bloch函数在高维空间中的两类推广。一方面，研究了无限维Hilbert空间单位球上的全纯α-Bloch函数，定义了四种范数并证明了其等价性。作为应用，建立了无限维Hilbert空间中的Hardy-Littlewood定理.另一方面，研究了四元数单位球上的正则α-Bloch函数，建立了相应的Forelli-Rudin估计，Hardy-Littlewood定理，并对其对偶空间进行了研究。　　第五章建立了四元数Hilbert空间中的测不准原理。