1990年,Pardoux和Peng(彭实戈院士)[68]解决了一般形式的非线性倒向随机微分方程(BSDEs)解的存在唯一性.这一重大成果奠定了倒向随机微分方程的理论基础.1991年,Peng[74]给出了非线性Feynman-Kac公式,建立了 BSDEs的解和二阶拟线性PDEs解之间的关系.正倒向随机微分方程(倒向随机微分方程)逐渐发展成为随机分析理论中的重要分支.正倒向随机微分方程在随机最优控制、金融数学、非线性期望、偏微分方程理论、风险度量以及随机博弈等领域有重要的应用.通常情况下,很难找到FBSDEs的解析解的显式表达.因此,正倒向随机微分方程的数值解法研究对FBSDEs的理论和应用研究有十分重要意义.本文主要研究维纳过程驱动的正倒向随机微分方程(FBSDEs)和带跳的正倒向随机微分方程(FBSDEJs)的数值解法及其应用.我们从正倒向随机微分方程理论及其解的结构出发,结合确定性数值方法理论,严格理论分析了求解正倒向随机微分方程的Crank-Nicolson格式和多步数值格式;提出了求解带跳的正倒向随机微分方程的显式预估矫正格式,并对其进行了严格的理论误差估计;给出了 Dirichlet初边值问题和分数阶Laplacian方程的倒向随机描述,研究提出了求解Dirichlet初边值问题和分数阶Laplacian方程的倒向随机算法,并严格理论数值分析了所提算法的一阶收敛性;基于Peng[79]的G-布朗运动定义,研究提出了 G-布朗运动的数值模拟算法,数值理论分析了该算法的稳定性和有效性,该算法对G-布朗运动驱动的正向和倒向随机微分方程的理论和应用研究有重要作用.论文的主要贡献及创新(1)严格理论证明了求解非耦合的FBSDEs的Crank-Nicolson格式的二阶收敛性,填补了文章[112]对Crank-Nicolson二阶格式理论分析的空缺.部分研究成果已发表在 Sci.China Math.[55].(2)严格理论分析了文章[111]中提出的求解FBSDEs的多步数值方法的高阶收敛性.部分研究成果已发表在East Asian J.Appl.Math.[99].(3)提出了求解带跳的FBSDEs的预估矫正显格式,严格理论数值分析了该格式的稳定性和二阶收敛性.部分研究成果已发表在East Asian J.Appl.Math.[36].(4)提出了二阶抛物型偏微分方程Dirichlet初边界问题的倒向随机解法,严格理论数值分析了所提解法的一阶收敛性.部分研究成果已被J.Comput.Math.接受发表[98].(5)给出了分数阶Laplacian方程的α-稳定跳的倒向随机表示,提出了求解分数阶Laplacian方程的倒向随机算法,严格地数值理论分析了所提格式的一阶收敛性.部分研究成果已完成待发表[94].(6)提出了 G-布朗运动的数值模拟算法,G-布朗运动及其相关的数值模拟,表明所提算法的稳定性和有效性.该算法对G-布朗运动驱动的SDEs和BSDEs的科学计算有重要应用意义.部分研究成果已发表在Front.Math.China.[100].论文的框架本论文共有六章.第一章引言简单介绍所研究问题的背景、动机和发展情况.第二章预备知识介绍与随机微分方程(包括带跳的)相关的基础知识,给出正倒向随机微分方程、带停时的正倒向随机微分方程和带跳的正倒向随机微分方程的解与相应的抛物型偏微分方程解的关系,即三类不同形式的Feynman-Kac公式,以及一些本论文用到的其他必备知识.第三章FBSDEs高阶数值解法的误差分析主要研究正倒向随机微分方程的两种高阶数值格式:Crank-Nicolson格式和多步数值格式[111],给出格式推导和相应的误差分析.第一部分,基于Taylor展开和Ito-Taylor展开,Malliavin积分理论以及截断误差相消技术,严格理论证明求解正倒向随机微分方程的Crank-Nicolson格式的二阶收敛性.第二部分,针对一种特殊形式的FBSDEs,在合理假设下我们证明多步数值格式高阶收敛性,即k步格式可达k阶收敛.本章内容来自● JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Convergence of recent multistep schemes for a forward-backward stochastic differential equation,East Asian J.Appl.Math.,5(4),pp.387-404,2015.(SCI)● YANG LI,JIE YANG,AND WEIDONG ZHAO,Error estimates of the Crank-Nicolson scheme for solving decoupled FBSDEs,Sci.China Math.,60(5),pp.923-948,2017.(SCI)第四章FBSDEJs的预估矫正解法主要研究带跳的正倒向随机微分方程的预估矫正方法.首先,通过鞅理论和条件期望的性质,给出预估矫正格式的参照方程;然后引出误差方程,再对误差方程进行分析,得到一般稳定性结果;最后在一定正则性条件下,得到该格式的误差估计,并用数值实验加以验证.本章内容来自● Yu Fu,JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Prediction-correction schemes for decoupled forward backward stochastic differential equations with jumps,East Asian J.Appl.Math.6(3),pp.253-277,2016.(SCI)第五章FBSDEs在PDEs中的应用基于正倒向随机微分方程理论和PDEs理论,研究正倒向随机微分方程在Dirichlet初边界问题和分数阶Laplacian方程中的应用.第一部分,研究Dirichlet初边值问题的FBSDEs数值解法.首先,给出Dirichlet初边值问题的一个概率表示,即Dirichlet初边值问题的解可由一带停时的正倒向随机微分方程的解表示.根据该表示,提出求解带停时的FBSDEs的隐式Euler格式,并分析该格式的收敛性,最后给出数值实验验证方法的有效性和收敛性.第二部分,主要研究分数阶Laplacian方程的FBSDEs数值解法.给出了分数阶Laplacian方程的倒向随机表示,即α-稳定跳过程驱动的FBSDEs的概率描述,根据该随机表示,提出分数阶Laplacian问题的倒向随机数值格式;数值理论分析了格式的稳定性和收敛性.本章内容来自● JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,An accurate nu-merical scheme for forward-backward stochastic differential equations in bounded domains,J.Comput.Math.,Accepted,2016.(SCI)● ClayTON WEBsTER,JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO,A probabilistic scheme using Fourier-Cosine series for fractional Laplacia,n equations,Finished.第六章G-布朗运动的数值模拟主要研究G-布朗运动的数值模拟算法.根据Peng[79]的G-正态分布的定义,通过求解特定的HJB方程给出G-布朗运动的数值模拟,对G-正态分布、密度函数、G-布朗运动和G-布朗运动的二次变差过程进行了数值模拟的研究,数值模拟研究表明所提算法是稳定的和有效的,可用于G-布朗运动驱动的SDEs和FBSDEs的理论和应用研究.本章内容来自● JIE YaNG AND WEIDONG ZHAO,Numerical simulations for the G-Brownian motion,Front.Math.China,11(6),pp.1625-1643,2016.(SCI)论文的主要结果第三章,主要对求解正倒向随机微分方程的Crank-Nicolson格式和多步格式进行了收敛性分析.第一部分:Crank-Nicolson 格式考虑非耦合的FBSDEs:对 0 ≤ t ≤ s ≤ T.给出求解FBSDEs(0.1)的Crank-Nicolson格式如下:格式0.1(Crank-Nicolson格式).假设给定初值条件X0=X0和终端条件=φ.(1)当n = N-1时,△tN-=(△t)2,通过以下方程求解XN yN-1和ZN-1:(2)当n = N-2,...,1,0时,通过以下方程求解Xnn+1,yn和Zn:这里,△Wn,1:=Wtn+1-Wtn和fn:=f(tn,Xn,Yn,Zn),,n=0,1,...,N-1.为了符号简单,我们记对 n = N-2,...,1,0,其中,e▽Yn和e 满足 §3.1 中的(3.24)和(3.25).关于求解非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式0.1有如下误差估计:定理0.1.在假设2.1-2.2下,若{Xn+1}0≤≤N-2满足弱二阶Ito-Taylor格式,b,σ ∈Cb1,3,f ∈ Cb1,2,2,2,则对 0 ≤ n ≤ N-2,有估计式其中,C>0是一个依赖d,T,K,K’以及b,σ,f导数上界的常数,误差项和i=n,...,N-2,j = 1,2,分别定义在 §3.1 中的(3.15)、(3.19)、(3.24)和(3.25).假设b,σ,f和φ满足一定的正则性条件,通过估计不等式(0.4)右端的误差项即可得下面的估计式(0.5).定理 0.2.假设且,α∈(0,1).若{Xn+1}0<n≤N-2满足弱二阶格式,则在假设2.1-3.1下有其中,C>0是一个依赖d,T,K’,K,L,Xt的初值X0以及b,σ,f φ导数上界的常数.第二部分:多步格式考虑如下形式的FBSDEs:求解正倒向随机微分方程(0.42)的多步格式如下:格式0.2(多步格式).假设终端条件yN-i和ZN-i = 0,1,…,-1已知,Xttn,x是(0.6)中SDE的解,对n=N-k,…,1,0,通过下面的方程求解Yn和Zn:对上面的多步格式,关于e_y~n在弱收敛意义有误差估计如下:定理0.3.设(Yn,Zn),0≤n≤N,为由格式0.2得到的数值解.在假设2.4下,αi=αk,i△t,i = 0,1,…,k:,若函数 f(t,X,Y)一致 Lipschitz 连续(Lipschitz 常数为 L),则对 0<△t ≤|α0|L-1 有其中,C>0是仅依赖T、L和k的常数,误差项的定义见§ 3.2中的(3.92).定理0.4.在一定的假设条件下,对有估计式其中,C>0是一个仅依赖T,L和k的常数,误差项和的定义分别见§ 3.2 中的(3.93)和(3.119).定理0.5.在一定的假设条件下,若终端条件满足则对0<△t≤|α0|L-1有其中,C>0是一个依赖T,b,σ,f和φ的常数.第四章,提出带跳的正倒向随机微分方程的预估矫正解法,并对该解法进行理论数值分析.考虑带跳的正倒向随机微分方程:这里 0 ≤ t ≤ s ≤ T.为了提出预估矫正格式,先定义下面两个随机过程:格式 0.3.给定(0.11)中正向SDEJ的初值条件X0和BSDEJ的终端条件(YN,ZN,ΓN),对n =-1,...,0,通过下面的方程求解Yn,Zn和Γn:关于该格式,有下面的稳定性和收敛性结果.定理 0.6.设(Xt,Yt,Zt,rt),t ∈[0,T],和(Xn,Yn,Zn,Γn),n = 0,1,...,N-—1,分别为非耦合FBSDEJs(0.11)的真解和由格式0.3得到的数值解.假设f(t,Xt,Yt,Zt,rt)是一致Lipschitz连续的(Lipschitz常数是L).则对充分小的时间步长△t,有估计式对n = N-1,...,1,0成立,其中,C>0是一个依赖L和c0(定义在(3.5))的常数,C>0也是一个依赖c0,T及L的常数,截断误差、和,i=n,...,N.分别定义于(4.11)、(4.14)和(4.15),误差项和、和,k = 1,2,3,j = 1,2,的定义见§4.1中的(4.21).定理0.7.在一定条件假设下,对充分小的时间步长△t,有其中,α,β,γ定义见假设4.1,C>0仅依赖c0和L,C1>0依赖c0、T和L,且C2>0依赖c0,T,L K,X0和b,σ,c,f及φ的导数的上界.格式0.3的数值分析请详见§4.1.3.第五章,研究正倒向随机微分方程在求解Dirichlet初边值问题和分数阶Laplacian方程中的应用.第一部分:Dirichlet初边值问题考虑Dirichlet初边值问题:其中,T>0是一个确定的常数,x:=(x1,...xd)T是一个d-维列向量,符号▽表示梯度算子,k(x)是终端条件以及χ(t,x)表示Dirichlet边界条件,非线性算子L0的定义为定义在完备域流(Ω,F,F,P)上的正倒向随机微分方程:其中,停时τ:= inf{t>0,Xt(?)D}是Xt第一次逃出区域D(?)Rd的时刻,这里刀是一个开的光滑联通区域,并且初始时刻X0在区域D内,问题(0.18)的解u(t,x)与带停时的FBSDEs(0.19)的解,x有如下关系:公式(0.21)被称为 Feynman-Kac 公式[74].由 Feymnan-Kac 公式知,问题(0.18)的解与带停时的FBSDEs(0.19)的解,x满足基于关系式(0.22),提出如下求解带停时的FBSDEs(0.18)的Euler格式:格式0.4(隐式Euler格式).给定终端条件YN= φ和初始条件Xn= x;.对n = N-1,…,0和x ∈ D,数值解,x由(5.5)求得,通过以下方程组求解Yn和Zn:其中,关于格式0.4有下面的误差估计.定理 0.8.假设 .则对所有n = N—1,...,0,对充分小的时间步长△t,有不等式(0.24)其中,C’和C是两个不依赖△t的正的常数.对定理0.8中的两个概率P(τt·n,x≤tn+1)和p(τxn≤tn+1)有如下估计:定理0.9.对任意的常数ε>0,如果Xstn,x和Xsn,x的出发点x满足那么,对充分小的时间不长△t,有其中,C>0是一个不依赖△t的常数.格式0.4的数值分析结果请详见§5.1.4.第二部分:分数阶Laplacian方程的FBSDEs解法考虑分数阶Laplacian问题:其中,u0(x)是初始条件,驱动项g(t,x,u)是t,x和u的函数,分数阶Laplacian算子(-△)α/2定义如下:这里的常数Cd,α有定义分数阶Laplacian初值问题(0.26)对应的伴随方程是其中,L*是伴随算子方程(0.28)的解v,生成元f和条件函数ψ与(0.26)的u,p和u0有如下关系:根据解的关系式(0.30),我们转而求解(0.28)来求解分数阶Laplacian初值问题(0.26).方程(0.28)的解有下面的概率表示在(0.31)中,Xt是一个对称的α-稳定过程.基于(0.31),我们提出求解v(t,x)的半离散数值格式如下:格式0.5.假设终端条件uN(x)已知.通过下面的方程求解vn(x),n = N-1,...,1,0,根据傅里叶余弦展开,v(tn,x)的全离散逼近vn(x)的计算公式为上式中的傅里叶逼近系数每由下面的计算步骤得到.步骤0.1(计算逼近系数).第1步:当= N时,由离散傅里叶余弦变换(DCT)计算终端时刻系数第2步:当n = N-1,...,1,0,令K=β*Nc(参数β∈(0,1),计算格式0.5的数值分析结果请详见§5.2.3.第六章,给出了 G-布朗运动的数值模拟算法并实现了该算法的数值模拟.Peng[79]给出了下面G-布朗运动和G-正态分布的定义.定义0.10(G-布朗运动).一个定义在次线性期望空间上的n-维过程{Bt}t≥0被称为G布朗运动,如果满足下列性质:定义0.11.一个服从G-正态分布的随机变量X可以被表征为使得E[φ(X)]=u(1,0),这里u = u(t,x)是下面定义在[0,∞]×Rd上的非线性抛物型偏微分方程的唯一粘性解其中,记服从G-正态分布的随机变量X为X～N(0;[σ2,σ2]).1-维G-布朗运动的二次变差过程{Bt}t≥0定义为[82]:其中,在G-正态分布框架下,我们感兴趣下面的量:上式可以看作经典正态分布函数Fx(a)的一般化.基于定义0.10、定义0.11和(0.36),我们给出下面的模拟G-正态分布Fx(a)及其相应的密度函数ρ(a)、G-布朗运动以及G-布朗运动的二次变差的算法.算法0.1(Fx(a)和ρ(a)的模拟).算法0.2(G-布朗运动Bt的数值模拟).●产生N个[0,1]上服从均匀分布的随机数{vk}k=1,...,N;数值模拟结果及分析请详见§6.3。