本文主要研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式、欧式空间中完备超曲面上的依赖平均曲率的曲率流的Harnack不等式和Kahler流形上具有位能的热方程的Harnack不等式，以及它们的一些应用。　　 随着微分方程理论的成熟，几何分析在近20年里得到了充分的发展，成为当前几何研究中的一个重要方向。在这方面最为重要的两个例子是：Huisken与Ilmanen用逆平均曲率流解决了黎曼Penrose不等式[28]和曹怀东与朱熹平用Ricci流工具证明了庞卡莱猜想[8]。　　 几何流的Harnack不等式也称为Li-Yau-Hamilton不等式，在几何分析中起了很重要的作用。抛物方程的Harnack不等式起源于Moser在1964年的工作[33]，他研究了线性散度型方程的情形。1986年在[31]中李伟光和丘成桐用最大值原理得到流形上热方程的Harnack不等式，这是第一次将微分方程的Harnack不等式和几何进行结合起来。随后，Hamilton用同样的技巧得到了流形上一些非线性方程的Harnack不等式[19，20，22]。Chow分别于1991和1992年计算了欧式空间中超曲面上的高斯曲率流和局部共形平坦流形上的 Yamabe流的Harnack不等式[12，13]。另外，曹怀东在1992年得到紧致Kahler流形上的Kahler-Ricci流的Harnack不等式[5]。Andrews用高斯映射的逆映射法得到一类欧式空间中超曲面上几何流的Harnack不等式[1]。近几年，这方面的研究也很多，如[7，9，10，29，30]等。本文在前人工作的基础上了得到了以下一些结果：　　 第一章研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式及其推论--Yamabe流的Nonconic估计。　　 设(Mn，g0)是一个光滑完备的局部共形平坦的n维黎曼流形。Yamabe流由下面方程给出其中x∈Mn，t≥0，R(x，t)是度量为g(x，t)时的数量曲率。　　 Yamabe流的提出起初是为了解决Yamabe问题。Yamabe问题是说给定一个紧致黎曼流形(M，g0)，则存在常数量曲率的度量g逐点共形于g0。Trudinger1968年指出了Yamabe本人给出的证明是错误的，并订正了当数量曲率非正时Yamabe的证明[41]；Aubin于1976年[2]证明了流形dimM≥6非共形平坦时数量曲率为正的情形，Yamabe问题也是成立的；Schoen在1984年[35]给出了一个完整的证明。关于Yamabe流的一些工作有：Hamlilton于1988年解决了二维流形上Yamabe流的解的收敛性[81]；Chow在1992年证明了具有正Ricci曲率的紧致局部共形平坦流形在规范Yamabe流下解是长时间存在的且在C∞范数下收敛于常曲率度量，同时给出了它的Harnack不等式[13]。叶如钢在[44]中给出了Yamabe流解的整体存在性的证明。　　 最近，Hamilton证明了Ricci流的局部Harnack不等式，并由此得Ricci流的Nonconic估计。在他的报告《Curvature and Volume Bounds》[24]中使用这个估计证明了“有限距离具有有限曲率”。这是在庞卡莱猜想的证明中很重要的一步。下面是Ricci流的Nonconic估计。　　 在第二章中，我们给出了欧式空间中完备超曲面上的依赖平均曲率的曲率流的Harnack不等式，利用这个不等式得到了一些推论，包括它的积　　 在Ricci流中，Hamilton在[23]中利用blow up的方法得到了三类奇点的模型，并对第Ⅰ类奇点进行了详细的分类；在[21]中证明了第Ⅱ类奇点是梯度Ricci孤子；曹怀东在[6]中指出了第Ⅲ类奇点是膨胀Ricci孤子。在平均曲率流中，Huisken也通过blow up的方法讨论了奇点分类问题，他在[27]中对第Ⅰ类奇点进行了详细的分类；Hamilton在[22]中证明了第Ⅱ类奇点是平移孤子；陈兵龙在[11]中证明了第Ⅲ类奇点是扩张梯度孤子。对于Hk-流，盛为民和吴超在[39]中考虑紧流形的情形，得到了Hk-流的梯度估计；在出现第Ⅰ类奇点时对于rescale之后的流形给出了单调性公式，运用这个单调性公式得到了第Ⅰ类奇点的结构；王捷在[45]中证明第Ⅱ类奇点和第Ⅲ类奇点分别是平移孤子和扩张的梯度孤子。本章接下来给出了f-流上类似的结果。