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J.Simons在1968年证明了以下著名的刚性定理：设Mn为n+p维单位球面Sn+p中的n维紧致极小子流形。若S≤n/2-p-1，则S≡0，即为全测地大球面，或S≡n/2-p-1。Chern-doCamo-Kobayashi在1970年证明下面定理：单位球面Sn+p(1)中满足S≡n/(2-p-1)的n维紧致极小子流形只有下面两种：1.S4(1)中Veronese曲面，这时n=p=2，2.Sn+1(1)中的Clifford极小超曲面。H.B.Lawson也独立得到了关于极小超曲面的类似结果。1998年Shiohama-Xu证明了完备子流形的广义刚性定理：设Mn是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维完备可定向的平行平均曲率子流形。设H和S分别为Mn的平均曲率和第二基本形式模长的平方，H≥0.则存在一个仅与n，p有关的正常数τ(n，p)∈(0，1)，使得当τ(n，p)≤KN≤1，且nH2+A1(n,p)(1-c)+A2(n,p)[(H2+1)H]1/2(1-c)1/4≤S≤C(n,p,H)-B1(n,p)(1-c)-B2(n,p)[(H2+1)H]1/2(1-c)1/4,其中c=infKN，Nn+p必整体等距于Sn+p(1)。更进一步，1.如果supMS＜α(n，H)，那么Mn为n维球面Sn(1/(√H2+1))或S4(1/(H2)+1)中Veronese曲面。2.如果Mn是紧致黎曼流形，那么Mn为下述情形之一：(1)Sn(1/(1+H2))，(2)Sn+1(1)中的等参超曲面Sn-1(1/(1+μλ2))×S1(λ/(1+λ2))，(3)Sn+1(1)中的Clifford极小超曲面Sk((k/n))×Sn-k((n-k)/n)，k=1，…，n-1.(4)S3(r)中平均曲率为常数H0的Clifford环面S1(r1)×S1(r2)，其中r1，r2=[2(1+H2)±2H0(1+H2)1/2-1/2，r=(1+H2-H20)-1/2，0≤H0≤H.(5)S4(1/(1+H2))中的Veronese曲面。这里λ=2(n+1/2(n+1)[nH+(n2H2+4(n-1))],C(n,p,H)={A(n,H),forp=1,orp=2andH≠0,min{A(n,H),1/3(2n+5nH2)},forp≥3,orp=2andH=0,A(n,H)=n+2(n3/2n-1)H2-n(n-2)/2(n-1)(n2H4+4(n-1)H2).最近，许洪伟和顾娟如([14])证明：设Mn是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维完备的平行平均曲率子流形.设KN是N的截曲率，满足c：=infKN≤0，d：=supKN≥0，且c+H2＞0，则存在常数τ1(n，p，H)(≤0)，τ2(n,p，H)(≥0)，其中τ21(n，p，H)+τ22(n，p，H)≠0，使得当τ(n，p，H)≤KN≤τ(n，p，H)，且nH2+A1(n，p)(d-c)+A2(n，p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4≤S≤Co(n，p，H)-B1(n，p)(d-c)-B2(n，p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4时，Nn+p必等距于Rn+p.进一步地，若supMS＜α0(n，H)，则M必为全脐球面Sn(1/H)，或S4(1/H)中的Veronese曲面.这里常数Co(n，p，H)如下定义：C0(n,p,H)=α0(n，H)，若n≥3，或n=2且p≤2，10/3H2，若n=2且p≥3，其中α0(n，H)=n2H2/n-1.其余A1(n，p)，A2(n，p)，B1(n，p)，B2(n，p)是仅与n，p有关的非负常数.本文证明了下述主要定理：设Mn是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维完备可定向的平行平均曲率子流形。设H和S分别为Mn的平均曲率和第二基本形式模长的平方，且H＞1.则存在一个仅与n，p和H有关的负常数τ(n，p，H)∈(-1，0)，使得当-1≤KN≤τ(n，p，H)，且nH2+A1(n,p)(1+c)+A2(n,p)[(H2-1)H]1/2(1+c)1/4≤S≤C(n,p,H)-B1(n,p)(1+c)-B2(n,p)[(H2-1)H]1/2(1+c)1/4,其中c：=supKN，Nn+p必整体等距于Hn+p(-1)；更进一步，如果supMS＜α(n，H)，那么Mn为全脐球面Sn(1/(√H2-1))或S4(1/(√H2-1))中的Veronese曲面.这里α(n，H)=α(n，H，-1)。