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本文主要研究Atiyah-Singer局部指标定理的推广和证明及非交换留数.Atiyah-Singer指标定理作为比较前沿的研究课题,将看似无关的数学两大分支—分析与拓扑—紧密结合起来,同时它也给微分几何,偏微分方程,微分拓扑,算子代数,数论等诸多领域提供了最基本的联系,具有重要的理论和应用价值.Atiyah和Singer在1961年联手解决了 Israel Gel’fand的猜测:用流形的拓扑不变量描述线性椭圆算子的指标.二人在此结论的基础上创建了 Atiyah-Singer指标定理.Atiyah-Singer指标定理可叙述为:紧致流形上的任何一个线性椭圆算子的解析指标等于其拓扑指标.自Atiyah和Singer在1963年宣布Atiyah-Singer指标定理后,出现了其多种推广和证明方法,其中热核证明方法得到了很多学者的关注.Patodi首次利用热核方法证明了局部Gauss-Bonnet-Chern定理.几年后,Getzler和Bismut利用热核方法分别给出了局部指标定理的纯解析证明.这引导出了很多局部指标定理的推广和不同的热核证明,其中Ponge利用Getzler.rescaling和Greiner的热核渐近法给了的局部指标定理的证明.该证明方法是本篇论文主要沿用的证明方法.Ponge和Wang利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明了等变局部指标定理.Lafferty, Yu, Zhang利用热核Clifford渐近展开法在偶数维Spin流形上给出了保定向等距映射下的Lefschetz定点公式.Wang利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明了一族Dirac算子的局部指标定理和等变局部指标定理.起初,Lefschetz理论在等变指标定理证明中的应用都是在偶数维流形上的保持定向等距对合的情况下进行,在奇数维流形的情况下没有非平凡的Lefschetz公式.Freed考虑了作用在紧致奇数维Spin流形上的定向反转等距对合的情况,用K理论的方法给出了相应的Lefschetz公式,进一步给出Dirac算子的奇数维指标公式.Wang利用Dirac算子和定向反转等距对合构建了一个偶谱三元组并计算了其Chern-Connes特征.Wang和Liu在Freed的结论的基础上证明了带有反演分次的Dirac算子的奇数维等变指标定理.受到以上证明方法和结论的启发,本文第二章利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明了一族Dirac算子的奇数维局部指标定理和等变局部指标定理.Zhang介绍了 Sub-Signature算子并证明了其局部指标定理.Ma, Zhang, Dai等人利用Sub-Signature算子给出了 Riemann-Roch-Grothendieck型公式的新的证明.本文第三章利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明了 Sub-Signature算子的偶数维等变局部指标定理.另一方面,非交换几何是当前十分活跃的研究领域.它对几何、拓扑、数论,以及物理都产生着重要的影响.非交换留数被发现于Adler和Wodzicki的相关研究文献中,在非交换几何中扮演着重要的角色.Connes发现Dirac算子的逆平方的非交换留数与Einstein-Hilbert作用成比例,现称此结论为Kastler-Kalau-Walze定理.Kastler和Kalau,Walze分别独立的证明了此定理.近期,Ponge利用非交换留数定义了低维黎曼流形体积.Fedosov等人结合热核展开方法给出了带边流形的非交换留数表示.Wang定义了关于Dirac算子的带边流形低维体积并证明了相应的Kastler-Kalau-Walze类型定理.Wang在7维Spin带边流形上计算了 Wres[（π+D-2）2]并证明了相应的Kastler-Kalau-Walze类型定理.Ackermann和Tolksdorf在偶数维Spin流形上证明了最一般的带挠率的Dirac算子的Lichnerowicz公式.Wang等人在紧致带边Spin流形上得到关于带挠率的Dirac算子的Kastler-Kalau-Walze类型定理,并相应的导出了流形上的重力作用.在以上结论的基础上,本文第四章证明了 7维带边Spin流形上的关于带挠率的Dirac算子的一个Kastler-Kalau-Walze类型定理,并导出了 7维带边Spin流形上的重力作用.全文共四章.本文第一章主要回顾了 Greiner的热核渐近法,正交标架与法坐标系的概念及带边流形上的非交换留数的相关主要概念和结论.本文第二章利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明了一族Dirac算子的奇数维局部指标定理及等变局部指标定理.本文第三章利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明了 Sub-Signature算子的偶数维等变局部指标定理.本文第四章证明了 7维带边Spin流形上的关于带挠率的Dirac算子的一个Kastler-Kalau-Walze 类型定理,并导出了 7 维带边 Spin 流形上的重力作用.