【摘 要】
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Moore-Penrose逆和Drazin逆是两类经典的广义逆,在许多领域中有着重要的应用.随着广义逆理论的发展,又产生了许多新型广义逆,如核逆,伪核逆以及（b,c）-逆.由于统计研究的需要,人们将广义逆与偏序（预序）结合起来,考虑了基于广义逆的偏序（预序）问题.本文主要围绕环与半群中元素的右核逆、伪核逆和（b,c）-逆,以及基于核逆与伪核逆的序展开研究.主要结果如下:第二章主要研究环中元素的右核
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Moore-Penrose逆和Drazin逆是两类经典的广义逆,在许多领域中有着重要的应用.随着广义逆理论的发展,又产生了许多新型广义逆,如核逆,伪核逆以及（b,c）-逆.由于统计研究的需要,人们将广义逆与偏序（预序）结合起来,考虑了基于广义逆的偏序（预序）问题.本文主要围绕环与半群中元素的右核逆、伪核逆和（b,c）-逆,以及基于核逆与伪核逆的序展开研究.主要结果如下:第二章主要研究环中元素的右核逆.首先,给出了环中元素右核逆的存在性准则,利用单边可逆元刻画了正则元素的右核可逆性.其次,得到了具有泛分解的元素有右核逆的等价刻画和表达式.最后,讨论了环上2 × 2矩阵以及友矩阵的右核可逆性,推广了柯圆圆与李亭亭等关于核逆的相关工作.第三章研究了环中元素的伪核逆.首先讨论了环中投影元的差与积的伪核可逆性.对于两个投影元p和q,我们得到了pq,p-q,p+q,pq-qp,pq+qp的伪核逆存在的充要条件以及伪核可逆性之间的关系.更进一步地,我们讨论了当p为投影元,q为环中任意元素时的情形.最后,对于环中任意伪核可逆元a,我们证明了 a ±（1-a（?）a）是可逆的,并给出了元素a的伪核逆与它们之间的关系,推广了马海凤等关于复矩阵中核-EP逆的相关结论.此外,还证明了a±（1-aa（?））是可逆的,并给出了其逆的表达式.第四章研究了带对合的半群中元素的（b,c）-逆.首先讨论了单边（b,c）-可逆元何时为（b,c）-可逆元,证明了当（ab）*=ab,（ac）*=ac时,a是左（b,c）-可逆的且左（c,b）-可逆的当且仅当a是（b,c）-可逆的且（c,b）-可逆的,推广了王龙和Mosic在b=c情形下的结果.其次,给出了 ba是（c,b）-可逆元且ca是（b,c）-可逆元的等价刻画,从而推广了陈建龙等有关Moore-Penrose可逆元的结论.第五章研究了环上矩阵的（B,C）-逆.众所周知,当A是可逆的复矩阵时,则X=A-1是满足（?）（A）的唯一解.首先,我们得到了环上矩阵（B,C）-逆的相应结果.其次,给出了 IBN环上矩阵的（B,C）-逆与可逆的加边矩阵之间的关系,作为应用,我们得到了一个计算复矩阵的（B,C）-逆的方法.最后,研究了环上矩阵的单边（B,C）-逆的表达式,推广了复矩阵的单边（B,C）-逆的相关结果.第六章研究了环中核偏序与核-EP预序.首先将Ferreyra和Malik在复矩阵中定义的核逆的保减性质推广到了环中,并利用其来研究核偏序的相关性质.其次,利用投影元给出了核-EP预序的新的刻画,并改进了 Donilar等利用Peirce分解刻画核-EP预序的结果,然后将王宏兴在复矩阵中提出的核减偏序的定义及性质推广到了环中.最后,利用核-EP预序与减偏序定义了一个新的偏序,讨论了它与核减偏序之间的关系.
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