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文中首先考虑如下带有Dirichlet边界条件的p-Laplacian方程:-△pu=-λ|u|p-2u+f(x，u)z∈Ω， (1)u=0 x∈θΩ，其中△pu为p-Laplacian算子：△pu=div(|▽|p-2▽u)，f∈C((Ω)×R，R)，入＞为参数．假设P＞1，Ω为RN(N≥1)中的带有光滑边界θΩ的有界区域．运用山路引理得到方程(1)解及多解的存在性．
定理1：假设在方程(1)中f满足以下条件:(f1)f∈C((Ω)×R，R)，当t∈R，x∈(Ω)时f(x，t)≥0；(f2)limt→0+f(x,t)/tp-1=0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f3)当N≤p时存在q∈(0，+∞)，当N＞P时存在q∈(p，pN/N-p1)使得limt→+∞f(x,t)/tq=0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f4)存在θ＞P，r＞0使得当t≥r时对任意(x，t)∈(Ω)×R+有0＜θF(x，t)≤tf(x，t)，其中F(x，t)=∫tof(x，s)ds．那么对所有λ＞0方程(1)至少有一个正解．
定理2：假设在方程(1)中f满足(f*1)f∈C((Ω)×R，R)，当t∈R，x∈(Ω)时，f(x,t)t≥0；(f*2)lim|t|→0 f(x,t)/|t|p-2t=0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f*3)当N≤p时存在q∈(0，+∞)，当N＞P时存在q∈_p,pN/N-p-1)使得lim|t|→∞f(x,t)/|t|q0关于x∈(Ω)几乎处处一致成立；(f*4)存在θ＞P，r＞0使得当|t|≥r时对所有(x，t)∈(Ω)×R有0＜θF(x，t)≤tf(x，t)．那么对所有λ＞0方程(i)至少有一正一负两解．
讨论RN上的p-Laplacian方程-△pu+|u|p-2u=f(u)， u∈W1,p(RN) (2)最小能量解的存在性，其中1＜P＜N，f∈C(R，R)．本文在f不满足AR条件下，利用Nehari方法得到最小能量解的存在性．主要结果如下：
定理3：假设在方程(2)中f∈C(R，R)满足(f5)lim|t|→0f(t)/|t|p-2t=0；(f6)存在p＜q＜p*全pN/(N-p)使得lim|t|+∞f(t)/|t|q/2t=0；(f7)函数t-f(t)/|t|p-1关于t在R{0}中单调递增；(f8)lim|t|→+∞F(t)/|t|p=+∞(f9)存在μp＜Np/警(q-p)和常数α＞0使得当t∈R＼{0}．时/(t)t-pF(t)≥a|t|∶>0那么方程(2)至少有一个最小能量解．
最后讨论了RN上的p-Laplacian方程-△pt+V(x)|u|p-2+u=s(u)， u∈W1,p p(RⅣ) (3)正解及最小能量解的存在性，其中1＜P≤N，f∈C(R，R)，V∈C(RN,R)．本文对非线性项f只给出在0与∞处的条件，利用没有(Ps)条件的山路引理及集中紧性方法得到结果．
主要结果如下:
定理4设在方程(3)中f和V满足以下条件(10)当t＞0时，(t)≥o；当t≤0时， f(t)兰0；(f11)当N=p时存在q＜∞，当N＜p时存在q＜Np/N-p使得limt→∞f(t)/tp=0；(f12)lim t→0+f(t)tp-1=α，其中α≥0是常数；(f13)limt→+∞f(t)/tp-1＝+∞(v1)a＜α0，其中α0=infu∈W1,p(RN/{0}；
(V2)0＜infx∈RNV(x)≤V(x)≤lim|x|→∞V(x)=V(∞)＜+∞；(v3)存在函数ψ∈L2(RN)∪ W1,∞(RN)使得对任意x∈RN有|x||▽V(x)|≤ψ(x)2.那么方程(3)至少有一个非平凡的正解．
定理5在定理4的假设下，方程(3)有一个最小能量解。即是说，存在一个解ω∈W1,p(RN)使得I(w)=m，其中m=inf{I(u)lu≠0，I1(u)=0}．