p-Laplace方程是一类非常重要的非线性方程,它在数学物理学的许多分支中都扮演着重要的作用.许多非线性物理现象都可以用p-Laplace问题来描述,比如非线性扩散和过滤,非牛顿流体,弹塑性扭转蠕变,多孔介质中的流动等问题,因此,研究这类问题具有实际意义和应用价值.本文主要研究了一类带有扩散项的p-Laplace方程无穷多解和基态解的存在性,采用的方法是变量替换,截断技巧,山路定理以及Moser迭代理论等变分方法.本文分为三章.第一章,主要介绍研究背景和国内外研究状况,并给出本文研究内容.第二章,考虑如下带有扩散项的p-Laplace方程其中△pu=div(|▽u|p-2▽u),N≥ 3,α ∈[2,N),p ∈[α,N),Ω(?)RN是有界光滑区域.非线性项f∈C(Ω×R)且满足如下条件:(f1)存在常数δ1>0,使得当|t| ≤δ1时,对所有的x ∈Ω,都有f(x,-t)=-f(x,t);(f2)存在常数δ2>0,r ∈(1,2),使得当|t| ≤δ2时,对所有的x∈Ω,都有|f(x,t)|≤|t|r-1;(f3)limt→0f(x,t)/|t|p-2t=∞ 关于 x∈Ω是一致的.本章将通过截断技巧和Moser迭代理论来证明问题(0.1)具有无穷多解.首先,通过变量替换和截断技巧将工作空间转化到w01,p(Ω)上;再者,利用Moser迭代理论证明了vn∈L∞(Ω)且|vn|∞→0;最后,证明了问题(0.1)具有无穷多解.我们的主要结果如下:定理2.1.1.假设(f1)-(f3)成立,则问题(0.1)在w01,p(Ω)中有非平凡的弱解序列{un},而且满足un→0,J(un)≤0.第三章,考虑如下带有扩散项的p-Laplace方程其中N≥ 3,α ∈[2,N),p ∈[α,N),V ∈ C(RN),f∈C(R).我们假设势函数V和非线性项f满足下列条件:(V)V∈C(RN),且关于xi,i=1,...,N,是以1为周期的,同时存在常数V0>0,使得对所有的x ∈R,都有V(x)≥V0;(f1)存在常数C0>0,r ∈(αp,αp*),使得|f(t)|≤C0(1+|t|r-1),t ∈ R,其中 p*=Np(N-p);(f2)limt→0 f(t)/|t|p-2 t=0;(f3)limt→∞F(t)/|t|αp=∞,其中F(t)=∫0t f(s)ds,t ∈ R;(f4)t →f(t)/|t|αp-2t是正的,且在(-∞,0)上递减,在(0,∞)上递增.在这一章中,我们目的是证明问题(0.2)在Nehari流形上基态解的存在性.由于在假设条件中,我们无法确定Nehari流形的C1正则性,因此问题变得相对困难.为了克服困难,我们利用山路引理,说明了 Cerami序列的存在性,通过证明c=c1以及c1是可达的,从而说明能量泛函在Nehari流形上的最小值是可达的.我们的主要结果如下:定理3.1.1假设条件(V),(f1)-(f4)成立,则问题(0.2)至少有一个基态解w ∈ M且满足I(w)=infMI.