本研究分为三大部分：长相依序列的非参数回归和无穷方差长相依误差序列的参数回归及极小概率测度的唯一遍历性。在非参数回归问题中，研究者最感兴趣的是条件期望函数的估计问题，对于独立和弱相依情况已有较成熟的理论，由于长相依性对估计带来的相当大的困难，长相依非参数回归理论尚处在完善中，目前最一般的回归模型是Yi=g(Xi)+εi，εi=G(Zi，Xi)，其中回归函数为：g(x)：=E(Y｜X=x)．随机变量序列{Xi}与{Zi}独立，{Zi}为长相依Guass序列，这种模型首先由Cheng与Robinson(1994)提出，并且在{Xi}为独立或弱相依随即充列的假设下，已有很多结果[参见Cs(o)rg(o） Mielniczuk(1998，1999，2000)，Masry(2001)，Masry Mielniczuk(1999)]．而．{Xi｝．也呈现长相依性时，仅能对εi=G(Z)的情况进行讨论[Hidalgo，1997]。 本文第一部分的第二章将生虑上述模型并假设{Xi)，{Zi}均为长相依随机序列，而函数G具有更一般的形式G(Xi，Zi)=G1(Zi)+G2(Xi)或G(Xi，Zi)=G1(Zi)G2(Xi)本章主要利用Guass随机序列函数的Hermite展式和Guass随机序列函数的极限理论，比较部分和∑ni=1G1(Zi)，∑ni=1G1(Zi)∑ni=1G1(Zi)G2(Xi)的收敛速度，从而讨论长相依随机设计变量X和长相依随机误差对回归函数g(x)的Nadaraya—Watson估计量的渐进分布的影响，并分几种情况，给出了条件期望函数g(·)的Nadaraya—Watson估计量的渐近分布An(gn(x)—g(x))→Cξm其中ζm秩为m的Hermite过程Zm(t)在t=1时的值，Z(t)由关于[0，1]上的Brown运动的标准Wiener—It(o)积分给出，而m，An和C在不同情况下的值不同[详见定理2.2.1，定理2.3.1和定理2.3.2]。无穷方差差问题是近年来的又一个统计研究热点，但是由于无穷方差和长相依性质给研究带来的双重困难，无穷方差长相依随机误差假设下的条件期望函数的估计问题至今尚未解决。 本文第一部分的第三章将解决这一问题，本章的讨论基于模型。Yt=g(Xt)+εt，t=1，…，n，其中回归函数与第二章相同，｛εt｝为最常用的长相依时间序列ARFIMA(p，q，d)过程，()(B)(1-B)d εt=()(B)ηt，其中ηt，t∈z，独立同分布属于对称α-稳定吸引域，指标a∈(1，2)，并且其尾部满足limZ→—∞｜y｜αG(y)=limZ→+∞｜y｜α(1-G(y))=κ1．则E ｜ηt｜＜∞而E｜ηt2｜＜∞，由于无穷方差和长相依性并存，以前的方法遇到了难以克服的困难，特别是无穷方差长相依变量的随机加权部分和渐近性质无法求出，而这正是求Local-linear估计量的渐近分布的关键一步，这里，我们构造了鞅差序列，利用鞅差极限理论、长相依序列的基本性质和无穷方差序列的渐近性质给出了无穷方差长相依变量的随机加权部分和的极限，从而求出了条件期望函数g和其一阶导函数的Local-linear估计量的渐近分布。nA-1n(gn(x)—g(x))=→k-ZnA-1n(△g(x)—▽g(x))→f(x)/f(x)k~Z这里An=n=1-β+1/α，Z为标准对称α-稳定变量其特征函数为e—｜u｜a详见定量3.3.2和定量3.3.3。无穷方差长相依时间序列数据的参数回归问题，在现实生活中也有广泛应用背景。 本文第二部分研究具有长相依无穷方差误差项的线性回归的最小一乘(LAD)估计的渐近性质并推广到具有长相依无穷方差误差项的线性回归模型，在独立无穷方差误差条件下，最小一乘估计远优于最小二乘估计[参见Davis(1996)，Davis和Wu(1997)]．而在无穷方差长相依时间序列误差条件下，我们发现最小一乘估计量和最小二乘估计量具有相同的渐近分布，这里最小一乘估计的渐近分布是利用优化理论得出(最小一乘估计本身就是一个优化过程)，约束线性回归问题也是回归问题中的重要问题，由于约束条件特别是不等式约束条件的存在，不能期望得到明确的估计量的渐近分布，在第二部分中，我们利用优化理论给出一个二次随机规划，并利用上图收敛理论证明最小一乘(LAD)估计依分布收敛于该过程的优解。遍历论作为概率论研究的重要课题，在众多的数学分支中有着广泛应用。例如，在动力系统理论中，著名数学家John．Mather在90年代初在Lagrange力学系统研究中引进了极小概率测度的概念，用于刻画力学系统的复杂性，极小概率测试的唯一遍历性对系统的动力学性质有深刻的影响。对该课题人们做了广泛的研究，1995年著名数学家Mane证明典型的力学系统典型的极小概率测度是唯一遍历的。在此工作基础上Mane提出了一系统的问题和猜测。其中一个主要的猜测是：典型的系统所有的极小概率测度唯一遍历。Mane去世后，他的学生和其他同行对他的猜测做了大量的研究工作。至今，Mane大多数的猜测已被证明或否定，但这一问题一直悬而未决。这个方向最新的结果是法国数学家Bernard在近期一篇尚未发表的文章中证明了典型的系统每个极小测度至多有限个遍历分支。 本文第三部分结合概率论和动力学方法，对一类力学系统做详尽分析，证明在充分小的摄动下，一定存在一个极小概率测度至少有两个遍历分支。换句话说，该类系统的某个极小概率测试不是唯一遍历的,从而否定了Mane的这一猜测。