半闭1-集压缩算子是一类新兴的算子，许多人对它感兴趣，在这里我们主要讨论的是关于半闭1-集压缩算子的不动点定理的问题.　　 本文第2章研究的是在Banach空间的半闭1-集压缩算子的不动点定理.关于这类算子的研究方法有很多，本文则与以往论文略有不同.以往的这类文献中所提的条件及关系式都是以范数形式给出的，而这里通过定义在锥上的某一泛函p来代替以往常用的范数.我们利用这个泛函给出的不等式通过不动点指数理论，最终获得了一些新的不动点定理.　　 同时，本文在许绍元的论文[4]的基础上，作了补充.除了讨论在α≥1，β＞0的条件下，不动点的存在情况；还讨论了在0＜α＜1,β≤0或α＜0的条件下，不动点是否存在.　　 多年来，常微分方程及方程组的非线性边值问题一直是人们研究讨论的焦点，在非线性微分方程边值问题的解的存在性研究中赋予边值各种不同的条件，得到许多结果.人们尤其对奇异非线性二阶两点边值问题的正解存在性感兴趣，而本文第3章主要研究的是奇异次线性二阶多点边值问题的非平凡解.　　 在以往的这类文章中都有个条件，要求u≥0时，f（u)≥0.而在本文中这个条件发生改变，f(u)可以为负，也就是说本文是一个奇异半正次线性二阶多点边值问题.　　 奇异次线性二阶m-点边值问题：　　 其中（L(P)）(x)=(p(x)(P)′(x))′+q(x)(?)(x)，且0＜ξ1＜ξ2＜……＜ξm-2＜1，a1∈[0,+∞），h(x)在x=0和x=1是允许奇异的,f不必非负.　　 以往解这类问题多通过上下解，Schauder不动点定理或不动点指数的方法，本文则是通过在一些条件下关于相关线性算子的第一特征值的拓扑度理论来获得非平凡解的存在性.