功能梯度材料（Functionally Graded Materials,简称FGM）是由两种或多种材料复合而成,材料组成呈连续梯度变化的一种新型复合材料。功能梯度材料能够消除不同材料之间的复杂界面效应,通过改变各组分含量的空间分布,实现材料的多功能性。由于具有独特的优良性能,功能梯度材料在船舶、航空、航天、核能等诸多领域具有广阔的应用前景。在无损检测中,超声导波因传播距离长、衰减小、分辨能力强、灵敏度高等优点得到广泛应用。随着超声导波检测技术的不断发展,导波检测技术已不局限于对缺陷的定位,更希望实现对缺陷大小和形状的重构。某频率上完整的导波包括有限个传播波模态和无限个衰逝波模态,而衰逝波模态在结构边界或缺陷边界有较好的分辨能力。波数解为复数的复波数模态,当阻尼很小时可以传播较长的距离,这类复数根描述的衰逝波对缺陷形状和尺寸的检测有着重要作用。目前对于二维结构的波导特性主要是对传播波的研究,而针对衰逝波的研究较少,特别是对功能梯度材料及其结构中的波动特性,功能梯度材料的非均匀性使得波动特性的计算更加复杂和困难。本文提出一种改进的双Legendre正交多项式法对矩形截面杆及圆环二维波导结构中传播波及衰逝波进行研究,着重研究衰逝波特性。该方法可将对复杂变系数波动微分方程的求解转换成以波数为特征值的特征方程计算问题,通过给定频率及频率步长求解得到纯实数的传播波、纯虚数的呈指数衰减的衰逝波和呈正弦阻尼衰减的复数波数衰逝波。该方法无需进行复杂的迭代,避免了迭代法的计算量大、精确度低、循环次数多等缺点。首先,在直角坐标系下,研究矩形截面压电杆、矩形截面功能梯度杆、矩形截面功能梯度压电杆中的传播波和复波特性。研究材料压电性、梯度函数、宽高比等因素对复波特性的影响。研究发现,复数波的虚部和传播波的截止频率都随着矩形杆的宽度的增加而减小,随着梯度函数指数的增加而降低。材料无压电性,连接两个纯虚数的复数模态消失,同时,起始于零频率终止于某纯虚数的复数模态也消失。其次,在柱坐标系下,运用该方法研究矩形截面压电圆环、矩形截面功能梯度圆环和矩形截面功能梯度压电圆环中的导波特性,尤其是复波特性。揭示压电性、梯度函数、径厚比等对导波特性的影响。研究发现,复波的衰减随着径厚比的增大而增大;纯虚数衰逝波模态和复数波数衰逝波模态的衰减随着幂指数的增加而减小。最后,通过COMSOL建立功能梯度矩形杆有限元仿真模型,进行模态分析,提取特征频率,绘制频散曲线,将得到的频散曲线与通过多项式方法计算的频散曲线进行对比,验证方法的正确性。