自然和社会科学领域（物理学、生物学和经济学领域等）中出现的很多问题最终都可归结为一个非线性的偏微分方程，因此对于非线性偏微分方程的求解和研究就成为了各领域学者重要的研究课题，尤其是变系数的非线性偏微分方程因为考虑了更多的实际因素，具有更一般的实际意义，所以受到更多的关注。本文考虑了两类在物理和金融中具有重要意义的非线性偏微分方程，分别研究了其对称群分类、古典约化以及精确解等。　　第一类是广义的带有二阶和四阶波动项的非线性梁方程，这类方程是由源自于旧金山金门大桥的历史行波行为事件中产生的经典梁方程扩展而来。首先通过利用古典无穷小算法，并对所讨论的方程应用等价群理论，得到方程的一个完整李对称群分类;然后再对从分类结果中得到的两种分类模型进行对称约化，获得相应的约化常微分方程;最后通过对约化常微分方程进行求解并利用约化公式，获得了分类模型的一些精确不变解，包括行波解、三角周期波解和有理解。　　第二类方程是一类变系数交易成本模型，该模型主要描述了在非流动性市场中具有交易成本的证券衍生品的定价行为。首先对该模型进行了李对称分类;然后再从分类模型中挑选出两类具有五维对称代数的模型，构建出它们的一维子代数最优系统;最后通过这些子代数，对分类模型进行约化，获得了相应的常微分方程。　　上述研究结果对构造方程更多的精确解、研究守恒律和用于数值解的检验具有一定的理论和实际意义。