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本文主要是在新的空间D<1,p><,β>(Ω)研究问题的，它是C<∞><,0>(Ω)定义新范数而得到的完备化空间．以改进的Sobolev-Hardy不等式为工具，证明了Sobolev嵌入的紧性．因此新空间D<1,p><,β>(Ω)也是Sobolev空间，我们可以在新空间中采用集中紧原理、山路引理、临界点理论等理论工具探讨问题的解。本文主要讨论了三个问题：一是含权p-Laplace方程Dirichlet问题非平凡解的存在性与非存在性；二是带奇性的临界指数的调和方程的非平凡解的存在性问题；三是R中的一个含临界位势N-Laplace方程解的存在性问题。
第二章研究了含权且带临界指数p-Laplace方程．Dirichlet问题，由于方程带有临界指数，D<1,p><,β>(Ω)→L>(Ω)不紧，我们采用集中紧原理和Sobolev嵌入最佳常数S的达到函数得到泛函满足(PS)<,c>条件，再利用不满足(PS)条件的山路引理得到非平凡解的存在性；用推导出的Pohozaev恒等式来证明解的不存在性情况。由于带奇性系数，得出的解也就带有奇点，不再属于C<2>(Ω)n C<1>( )，在推导Pohozaev恒等式时，本文先用普通的方法推导，接着利用逼近方法给出严格的证明。
第三章讨论了带奇性的临界指数的调和方程的解的存在性问题。方程也带临界指数，我们采用Sobolev嵌入最佳常数S的达到函数来估计极大极小值的范围，且得出在此范围内泛函满足(PS)<,c>条件，再利用不满足(PS)条件的山路引理，得到解的存在性结果。也推导了Pohozaev恒等式，得到解的不存在性。
第四章讨论了N=p且含有临界位势的椭圆型方程解的存在性问题。首先证明了Hardy不等式且常数( )是最佳，而且奇性的阶是最高的。随后，利用山路引理证明了上面问题的非平凡解的存在性。