光子晶体能带结构问题是电磁波研究中一类有着较强的实际背景和应用前景的数学物理问题,以麦克斯韦方程组作为理论基础,主要研究波在周期性人工材料中的传播问题。光子晶体是由具有不同介电常数的介质按一定周期排列而形成的人造结构,其重要特征是具有光子禁带,电磁波若在禁带频率范围内则不允许在光子晶体内传播。光子晶体的能带结构是光子晶体研究的基础,对应用广泛的一维和二维光子晶体结构构建数学模型,设计有效的数值算法是有着重要实际意义的研究问题。本文主要研究光子晶体能带结构的有限元数学理论和有限元算法求解。其研究工作涉及模型的构造、有限元离散格式设计、有限元误差的理论分析、有限元算法实现以及数值结果的物理特性分析等。对于一维光子晶体结构,本文以电场作为工作变量,对于波源为平面波的情形建立了数学模型,构建有限元算法求解了给定光子晶体结构的透射率,从而得到该结构的光子禁带频率范围。基于求解禁带结构的有限元算法,本文分析了光子晶体禁带与光子晶体晶格结构、材料介电常数等的关系。对于二维光子晶体结构,本文考虑TE和TM模式,分别以电场和磁场为工作变量建立了二维光子晶体能带结构的有限元变分问题,设计了有限元离散格式。给定频率下,该二维问题是一类电磁场特征值问题,且具有拟周期边界条件。基于求解广义特征值问题的反幂法和子空间迭代法,本文设计了与有限元算法结合的数值求解过程,数值求解出了光子晶体中传播的波的传播常数。基于有限元数学模型和数值算法,本文对一维光子晶体结构和二维简单正方晶格结构分别进行了数值模拟。数值求解的能带结构图和物理理论、实验结果基本一致,相应的物理特性也可以此由得到。进一步,我们还对一维光子晶体进行了最优结构设计的讨论,本文的数值试验结果表明我们算法是行之有效的,可以为光子晶体的结构设计提供指导和帮助。