自Black&Scholes(1973)([1])和Merton(1974)([2])以来，关于金融风险的模型研究有了长足的发展。其中以连续市场风险和信用风险的模型研究最受关注。连续市场风险模型除了威廉·夏普的资本资产定价模型(CAPM)外，无套利定价模型应用更为广泛，如StephenA.Ross的套利定价理论和Black-Scholes(1973)的期权定价理论。信用风险模型主要分为三类，结构模型(structuremodel)如[2，3，4，5]，简约模型(reduced-formmodel)如[6，7，8，9，10]和不完全信息模型(incompleteinformationmodel)如[11，12，13]。除了一些统计模型如[14，15]，现有文献中研究风险定价的模型大多数依赖于风险中性测度的存在，这是无套利定价体系的一个关键假设。这给实际应用带来了一些不便，其一，风险中性测度的存在要求市场是无套利的，这一点很难满足，其二，如果模型的参数不能满足测度变换时的不变性，则利用历史数据校正风险中性定价的模型参数就比较困难，其三，无套利定价要求资产的可交易性，所以对于不可交易的风险资产(如保险公司的保单)，这一理论不易直接套用。因此一些学者开始试着在实际测度下定价风险资产，如[16，17，18]。他们指出了风险中性测度和实际测度间的等价关系，但研究结果最终还是通过风险中性测度表示的。 为了进一步发展风险资产定价理论，本文利用倒向随机微分方程研究实际测度下风险证券的定价，包括 ·无违约证券在无风险利率存在时的定价； ·无违约证券在无风险利率不存在或难以获得时的定价； ·不含市场风险的违约证券的定价，包括离散情况和连续情况； ·一般违约证券的定价，也分为离散支付和连续支付两种情况； ·一般违约证券基于无违约可交易证券的定价。 最后给出了基于无违约可交易证券的违约证券定价公式的推广形式，并且证明这一定价在一定条件下是可以获得完全保值的。这些定价模型基于共同的原理：证券的价格应该等于其未来现金流的折现，这里称为时间-风险折现，而折现率依赖于无风险利率和证券所包含的风险需要的补偿。为了度量风险补偿的大小，我们引入了风险的市场价格概念，包括信用风险的市场价格和连续市场风险的市场价格。这两个价格可以通过证券市场数据来估计，[17，18]等文献曾对这两个价格进行了计算。所以我们假设风险的市场价格已知，如果无风险利率存在，则假设无风险利率也是已知的。而单位风险用不同的随机过程来表示，简单地用一维标准布朗运动表示市场风险，用Poisson过程表示违约风险，并假设Poisson过程在离散情况下的违约概率或连续情况下的强度过程是已知的。结合证券的现金流我们可以求得任何无违约证券在到期T前任意时刻的价格： pdf=E[∫tTbsexp{-∫tsrudu-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du}ds+exp{-∫tTrsds-∫tTηsWdWs-1/2∫tT(ηsW)2ds}ξ|Ft],(A)t∈[0,T]其中过程ηW代表市场风险的市场价格，r代表无风险利率，(b，ξ)为持有该证券期间的现金流和到期T时的偿付。如果我们已知一个无违约可交易证券Z的价格过程{dZ(t)=Z(t)[μz(t)dt+σz(t)dWt],(0≤t＜≤T)Z(0)=z0(＞0)则所求证券的价格可表示为(A)t∈[0，T]pdfz=E(∫tTbsexp{-∫tsμz(u)du+∫tsηuWσz(u)du-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du}ds+ξexp{-∫tTμz(s)ds+∫tTηsWσz(s)ds-∫tTηsWdWs-1/2∫tT(ηsW)2ds}|Ft)而对于违约证券，如果进一步知道证券的违约回复，则不含市场风险的违约证券价格为：V(t,ω)=1(τ＞t)[∫tT(bs-cs-ηN(s,ωs))exp{-∫ts(ru-ηN(u,ωu))du}ds+Xexp{-∫tT(ru-ηN(u,ωu))du}]其中b，c分别代表该证券连续支付的利息和违约回复，(η)N代表调整后的违约风险市场价格。类似地我们还求得一般违约证券的价格过程： Vt=1(r＞t)E[∫(t,T)(bs-cs-ηsN)exp{-∫tsrudu-∫tsηuWdWu-1/2∫ts(ηuW)2du+∫tsηuNdu}ds|Ft]+1(τ＞t)E[Xexp{-∫tTrudu-∫tTηuWdWu-1/2∫tT(ηuW)2du+∫tTηuNdu}|Ft]此外我们还讨论了离散情况下违约证券的定价和当无风险利率不存在时违约证券的定价，具体结果将在正文中给出。 概括起来，本文研究的模型具有以下特点： 一.证券定价公式都是在实际测度下给出的，便于模型参数的校正。 二.定价公式本身有着明显的经济解释，反映了风险对证券价格的影响，满足同风险同收益原理。 三.文中给出的资产价值还满足资本最小化原理，并且当市场满足无套利条件时，可交易证券的价值是无套利价格。 四.文中的定价模型并不需要证券的波动率是已知的，它可以通过计算，与资产价值一起得到，所以这里给出的是隐含波动率，它反映了单位风险对证券价格变动的影响程度。我们并不关心他与通常意义下的波动率取值是否一致，因为用波动率衡量风险也只不过是对风险的一种度量方法，并非风险的真实含义。也就是说，我们舍弃了利用波动率去衡量风险的思想，而是给出由实际证券价格反映出来的风险影响。 五.既然这里主要利用倒向随机微分方程(BSDE)表达证券的价格过程，就存在该方程解的存在问题。如果利用BSDE解的存在唯一性条件求解，所得的解只能是唯一的，也就只能反映完全市场下的价值，考虑到大多数情况下是利用不动点定理来讨论BSDE解的存在性的，所以同时也得到了其解的唯一性。这里我们将条件放松，避开不动点定理的局限，仅讨论解的存在性问题：通过寻找BSDE的一个具体解证明解的存在性。求解过程不需要测度转换，因此放弃了等价鞅测度必须存在的假设，从经济上来看，也就是对市场完全性和套利条件的放松。这种放松并未影响所得价值的公平性，而且可以证明所得价值仍然满足资本最小化。