【摘 要】
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分数阶微积分（包括分数阶微分和分数阶积分）是数学分析的一个重要分支,主要用来刻画历史依赖性和空间非局部效应.虽然分数阶微积分和经典（整数阶）微积分有着几乎相同的历史,但在相当长的一段时间里,除了在流变学中的零星应用外,分数阶微积分主要是作为数学领域的纯理论而被数学家所使用.近几十年来,分数阶微积分逐渐引起应用科学家和工程师的广泛关注,这主要由于历史依赖性、空间非局部效应、Levy飞行、遗传特性、反
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分数阶微积分（包括分数阶微分和分数阶积分）是数学分析的一个重要分支,主要用来刻画历史依赖性和空间非局部效应.虽然分数阶微积分和经典（整数阶）微积分有着几乎相同的历史,但在相当长的一段时间里,除了在流变学中的零星应用外,分数阶微积分主要是作为数学领域的纯理论而被数学家所使用.近几十年来,分数阶微积分逐渐引起应用科学家和工程师的广泛关注,这主要由于历史依赖性、空间非局部效应、Levy飞行、遗传特性、反常对流、反常扩散等现象的数学建模需要用到分数阶微积分,极大地促进了数学家对分数阶微积分的重新认识和深入研究.近年来,人们发现对材料疲劳断裂、Lomnitz对数蠕变律等的刻画需要用到Caputo-Hadamard分数阶导数,所得到的数学模型表现为Caputo-Hadamard分数阶微分方程.而关于Caputo-Hadamard分数阶常/偏微分方程的理论研究十分少见,关于Caputo-Hadamard分数阶常/偏微分方程的数值研究未见到,本课题正是围绕这一课题展开研究的.此论文的创新性研究成果体现在以下三个方面:证明了 Caputo-Hadamard 分数阶常微分方程解的延拓定理,相应技巧可 以运用到其他类型的分数阶常微分方程;运用基于对数函数的一阶插值公式构造了求解Caputo-Hadamard分数阶常微分方程的有效差分格式,这种逼近思想尚未见到,并可以拓展到求解其他形式的分数阶常微分方程;率先提出逼近Caputo-Hadamard导数的L1格式,并将其成功地应用到Caputo-Hadamard分数阶偏微分方程的求解.主要研究内容在以下三章（第二章至第四章）中详细介绍.第二章研究Caputo-Hadamard分数阶常微分方程初值问题.先将Caputo-Hadamard 分 数阶常 微分方 程初值 问题转 化为一 个等价 的带对 数核的 Volterra 积分方程,运用不动点定理证明了解的存在性定理;在Caputo-Hadamard分数阶常微分方程右端项满足李普希兹条件下,进一步证明了解的唯一性定理和解的延拓定理.这些定理是数值求解的理论基础.第三章构造了 Caputo-Hadamard分数阶常微分方程初值问题和Caputo-Hadamard 分数阶 偏微 分方程 的有 限差 分方法,这 是本论 文的 核心 内容.全章内容共分三个部分:第一、二部分求解Caputo-Hadamard分数阶常微分方程初值问题,第三部分求解Caputo-Hadamard分数阶偏微分方程的初边值问题.1.先将Caputo-Hadamard分数阶常微分方程初值问题转化为一个等价的带对数核的Volterra积分方程,通过对被积函数在每个子区间上的不同近似,构造了分数阶矩形格式、分数阶梯形格式和分数阶预估-校正格式.通过建立相应的分数阶Gronwall不等式,研究了这些计算格式的数值稳定性、收敛性和误差估计.2.对于上面的Volterra积分方程,通过对被积函数在每个子区间上的基于对数函数的一次插值,得到了精度明显提高的隐式计算格式.此格式稳定性好,但是计算量大,运用预估-校正技巧,进一步得到了基于对数函数“一次”插值的预估-校正格式,精度虽然有所降低但计算量减少很多.对这两种算法的数值稳定性、收敛性和误差估计都进行了细致研究.3.建立求解Caputo-Hadamard分数阶偏微分方程初边值问题的有限差分格式.首先建立求解Caputo-Hadamard分数阶导数的L1格式,并讨论L1格式的截断误差.运用此格式,建立了此分数阶偏微分方程初边值问题的半离散格式,并对半离散格式的数值稳定性、收敛性和误差估计进行了研究.进一步,运用中心差分格式对半离散格式中的空间导数进行离散,得到了求解Caputo-Hadamard分数阶偏微分方程初边值问题的全离散格式,研究了计算格式的数值稳定性、收敛性和误差估计.数值例子验证了计算格式的有效性和理论精度.第四章研究了带Caputo分数阶导数的Riccai常微分方程的最优同伦渐近方法（OHAM）,运用此方法,得到了带Caputo分数阶导数的Riccai常微分方程的近似解析解.最后通过几个数值例子验证了算法的有效性.第五章简要总结了此论文的主要研究内容以及将来拟开展的研究课题.
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