【摘 要】
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本文主要研究相场方程的时空自适应有限元方法.相场方程作为计算数学中一类重要的物理模型,其从本质上来讲是一类非线性偏微分方程.由于相场方程中含有小参数ε,涉及边界层现象.因此所采用的数值方法需要空间网格尺寸以及时间步长和界面宽度ε满足一定的关系,故采用自适应网格来求解该类方程问题具有更大的优势.在自适应过程中,后验误差估计起着至关重要的作用.梯度重构作为有限元方法的后处理技术之一,其具有许多的优势,
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本文主要研究相场方程的时空自适应有限元方法.相场方程作为计算数学中一类重要的物理模型,其从本质上来讲是一类非线性偏微分方程.由于相场方程中含有小参数ε,涉及边界层现象.因此所采用的数值方法需要空间网格尺寸以及时间步长和界面宽度ε满足一定的关系,故采用自适应网格来求解该类方程问题具有更大的优势.在自适应过程中,后验误差估计起着至关重要的作用.梯度重构作为有限元方法的后处理技术之一,其具有许多的优势,例如:改进梯度的逼近、构造用于指导自适应网格加密的重构型后验误差估计子、具有超收敛性等.超收敛点团恢复方法（SCR）就是这样一类梯度重构方法,因此本文的自适应有限元方法主要是结合SCR重构型后验误差估计来展开研究的.我们针对Allen-Cahn方程,研究其基于二阶、无条件能量稳定格式的自适应有限元方法,设计时间—空间自适应算法,其中时间误差估计子采用的是前后两层网格数值解的差,基于SCR梯度重构型后验误差估计子作为空间误差估计子指导网格加密和放粗.数值实验验证后验误差估计以及对应的自适应算法的有效性.进而将上述后验误差估计子以及自适应算法应用到Cahn-Hilliard方程.另一方面,我们也从理论上推导Allen-Cahn方程基于Crank-Nicolson有限元方法的重构型后验误差估计.后验误差估计的推导基于椭圆重构技术,其将误差分为椭圆误差和抛物误差两部分.基于导出的后验误差估计,我们设计一个时间—空间自适应算法并从数值上说明后验误差估计以及自适应算法的有效性.我们也将时空自适应有限元方法应用到相场与流体耦合的Cahn-Hilliard-Navier-Stokes模型.针对线性、解耦、无条件能量稳定的自适应有限元格式,我们导出相应的先验误差估计,推导其对应的全离散格式的无条件能量耗散定律并对相场变量和速度场变量分别构造SCR重构型后验误差估计子.基于提出的时间和空间误差估计子,我们针对Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程设计时空自适应算法,通过数值算例验证所提出的误差估计子和对应的自适应算法的有效性.
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