【摘 要】
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本文以非线性方程的理论为基础,将非线性方程转化成线性方程求解,结合线性方程的理论,主要运用动力系统定性理论和分支方法研究（2+1）维Broer-Kaup-Kupershmit（BKK）方程、（1+1）维Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程、（3+1）维Generalized Kadomtsev-Petviashvili（GKP）方程和（2+1）维Yu-Toda-SasaFukuyam
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本文以非线性方程的理论为基础,将非线性方程转化成线性方程求解,结合线性方程的理论,主要运用动力系统定性理论和分支方法研究（2+1）维Broer-Kaup-Kupershmit（BKK）方程、（1+1）维Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程、（3+1）维Generalized Kadomtsev-Petviashvili（GKP）方程和（2+1）维Yu-Toda-SasaFukuyama（YTSF）方程的分支现象和行波解.根据动力系统定性理论,找到方程的奇点并判断奇点的类型,利用椭圆积分公式,从而求解出几个方程的孤立波解、爆破波解和周期波解,主要揭示了扭波的几种分支现象,并利用Maple模拟变化过程给出了证明.本文内容安排如下:在第一部分中,首先回顾动力系统定性理论的基本结论,在后文中直接引用了这些结论,然后介绍BKK方程、WBK方程、GKP方程以及YTSF方程的几种研究方法.在第二部分中,运用动力系统定性理论和分支方法求解BKK方程的非线性波解,并揭示了扭波可以由钟形孤立波、爆破波和谷形孤立波分支得到.在第三部分中,运用动力系统定性理论和分支方法求解WBK方程的行波解,除了揭示孤立波和爆破波的分支,还发现了周期波可以分支成周期爆破波和线性波,并给出详细的证明过程.在第四部分中,通过两次变量替换,将GKP方程转化为常微分方程,并构造出自治系统,运用动力系统定性理论判断奇点,通过两次积分,求出GKP方程的一些精确解.在第五部分中,通过两次变量替换,将YTSF方程转化为常微分方程,并构造出自治系统,运用动力系统定性理论判断奇点,通过两次积分,求出YTSF方程的一些精确解.
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