延迟微分方程广泛出现于物理、工程、生物、医学及经济等领域,其算法理论研究具有无容置疑的重要性,近几十年来已引起众多学者的极大关注.该文主要研究非线性延迟微分方程数值分析中的有关问题,包括算法的稳定性、收敛性、散逸性等方面.算法的收敛性是该领域研究的另一重要问题.基于Lipschitz条件的收敛性研究已获许多重要结果.但对刚性延迟微分方程,其Lipschitz常数将十分巨大,如含延迟项的抛物方程离散空间变量后导致的大规模系统.为此,1997年张诚坚和周叔子对一类刚性延迟微分方程引入了D-收敛概念,对强代数稳定且对角稳定的Runge-Kutta方法证明其D-收敛阶等于级阶,并构造了2阶D-收敛的方法.但由于该结果要求验证s+1个矩阵的非负定性(s为方法的级数)和一个矩阵的正定性,高阶方法的D-收敛性难以确定.该文的第二部分工作讨论数值方法的D-收敛性.第五章证明了单支方法关于线性插值是p阶D-收敛的当且仅当其是A-稳定且经典相容阶为p.第六章对Runge-Kutta方法证明了若其代数稳定且对角稳定,则其D-收敛阶等于广义级阶.其中广义级阶不小于级阶,对某些方法可比级阶高1(如隐式中点方法).我们的结果仅要求验证前述s+2个条件中的2个,如任意高阶的Gauss,Radau 1A,Radau 2A方法都满足这些条件.利用熟知的B-收敛结果可知在某些轻微的假设下我们的条件也还是必要的.第七章将上述研究进一步扩展到一般线性方法,建立了一般的D-收敛准则.科学与工程中的许多问题具有散逸性,即系统具有一有界吸引集,从任意初始条件出发的解经过有限时间后进入该吸引集并随后保持在里面.如2维的Navier-Stokes方程、Lorenz方程等许多重要系统都是散逸的.动力系统的散逸性研究一直处于该领域研究的中心.当用数值方法求解这些系统时,自然希望数值方法能保持系统的该重要特性.1994年,Humphries和Stuart首次研究了Runge-Kutta方法对有限维系统的散逸性.1997年Hill进一步研究了Runge-Kutta方法的无穷维散逸性和单支方法的有限维和无穷维散逸性.但对于延迟动力系统数值方法的散逸性研究迄今尚未见之于文献.该文第三部分致力于该问题的研究.第八章讨论延迟动力系统及Runge-Kutta方法的散逸性.给出了延迟动力系统本身散逸的条件,对带约束网格或线性插值的代数稳定的Runge-Kutta方法证明了其能无条件保持有限维系统的散逸性.若更设方法在无穷远处是强稳定的,则方法是无穷维散逸的.第九章讨论单支方法的散逸性.给出了单支方法有限维和无穷维散逸的充要条件分别是A-稳定和强A-稳定.在上述两章,我们还给出了某些一般性的结果.应用其到不含延迟项的动力系统,我们的结果也比前述结果更广泛.