【摘 要】
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本学位论文仅考虑有限简单无向图G=（V（G）,E（G））,其中V（G）是顶点集,E（G）是边集.图G的点荫度va（G）是指V（G）的最小划分数,使得每一个划分集的点导出子图是一个森林.若图G的每一个子图H都有δ（H）≤k,则称G是k-退化的.根据k-退化图及点荫度的定义,易证若图G是k-退化图,则有va（G）≤[k+1/2].平面图是指图可嵌入在平面上,使得任意两条边仅在端点处相交.由欧拉公式易证
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本学位论文仅考虑有限简单无向图G=（V（G）,E（G））,其中V（G）是顶点集,E（G）是边集.图G的点荫度va（G）是指V（G）的最小划分数,使得每一个划分集的点导出子图是一个森林.若图G的每一个子图H都有δ（H）≤k,则称G是k-退化的.根据k-退化图及点荫度的定义,易证若图G是k-退化图,则有va（G）≤[k+1/2].平面图是指图可嵌入在平面上,使得任意两条边仅在端点处相交.由欧拉公式易证所有的平面图都是5-退化图.故平面图的点荫度至多为3.IC-平面图是指图可画在平面上,使得每条边至多被交叉一次且被交叉边组成的边集是个匹配.IC-平面图都是对应的平面图与一个1-退化图的并,从而所有的IC-平面图都是6-退化的.故IC-平面图的点荫度至多为4.1979年,Garey和Johnson证明了确定任意一个图的点荫度是NP-困难的.既使是外平面图G,Hakimi和Schmeiche也证明了确定G的点荫度是否有va（G）≤ 2是NP-完全的.因此,许多学者转而去研究平面图点荫度至多为2的充分条件.本文给出平面图点荫度至多为2的一个新的充分条件.在IC-平面图上,结合点荫度与退化性的关系,我们通过证明某些不含短圈的IC-平面图是3-退化的,得到其点荫度至多为2;以及证明某些不含短圈的IC-平面图是4-退化图或者是5-退化图,从而得到其点荫度至多为3.全文共分四章:在第一章中,我们首先给出本文需要的一些基本概念,其次再简述相关领域的研究现状以及本文的研究成果.2012年,Huang,Shui和Wang证明了不含7-圈的平面图G的点荫度至多为2.在第二章,我们推广了上述结果,证明了下面结果成立:（1）若G是3-圈不与7-圈相邻的平面图,则va（G）≤ 2.在第三章中,我们通过权转移的方法,证明某些不含短圈的IC-平面图是3-退化的,从而其点荫度至多为2.（2）不含3-圈与相邻4-圈的IC-平面图是3-退化的.从而其点荫度至多为2.而4-退化图与5-退化图的点荫度都至多为3.在第四章中,我们研究了不含短圈的IC-平面图的退化性及其点荫度.（3）4-圈不与k-圈（k∈ {3,4,5}）相邻的IC-平面图是4-退化的,从而其点荫度至多为3.（4）不含7-圈的IC-平面图是5-退化的,从而其点荫度至多为3.
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