本文运用变分方法、Nehari方法和一些分析技巧研究了几类椭圆边值问题正解的存在性和多重性.首先,研究了如下带临界指数的半线性椭圆问题其中Ω(?)Rn(N≥3)是一个具有光滑边界的有界区域,1<g<28,A>0以及28=2N/N-2为Sobolev临界指数.系数函数是一个非零非负函数,q∈C((Ω)是一个正函数.利用变分方法和Nehari方法获得了问题(0.1)正解的存在性和多重性.其次,研究了如下奇异Neumann边值问题其中Ω(?)RN(N ≥3)是个具有光滑边界的有界区域,λ>0,0<λ<1<p≤2*-1.系数函数为非零非负函数.P也是一个非零非负函数且满足当1<p<28一1时,利用Nehari方法获得了问题(0.2)的两个解；当p=28一1时,利用极小极大方法和一些分析技巧获得了问题(0.2)解的存在性.接下来,研究了如下带奇异项的Kirchhoff型方程其中Ω(?)R3是一个有界区域,a,b,λ,μ>0,0<λ<1利用Nehari方法和极小极大方法获得了问题(0.3)解的存在性和多重性.最后,利用极小极大方法和一些分析技巧研究了如下带奇异项的Kirchhoff型问题解的唯一性其中Ω(?0RN(N≥3)是个有界区域,0<γ<1,λ≥0,0<p≤2*-1,a,b≥0且a+b>0.系数函数在Ω中几乎处处大于零.