本文主要研究含P-Laplace算子的方程。我们知道P-Laplace算子的作用十分广泛，它不仅出现在数学理论中，还出现在流体动力学(包括牛顿流体(p=2)、膨胀流体(p≥2)和拟塑性流体(1＜p＜2))，穿过多孔介质的流体(p=3/2)、非线性弹性学(p≥2)和冰川学(p∈(1，4/3)等应用领域里。因此研究P-Laplace算子不仅在数学理论上有重大的理论价值(如对P-Laplace算子的研究有助于我们理解褪化椭圆算子)，还因其深厚的物理背景而具有广泛的应用前景。本文主要讨论了含P-Laplace算子的方程解的性态。全文共分六章，具体内容如下：　　 第1章是前言。介绍了P-Laplace算子的物理背景、本文所研究问题的历史、现状和本文的结论及证明思想。顺便还介绍了本文的创新之处和所克服的困难。　　 第2章是预备知识。介绍了本文要用到的数学术语、数学工具和技巧。　　 第3章研究如下椭圆方程的边值问题。(公式略)其中0＜q＜p-1，Ω是Rn中的有界区域，△p是p-LapLace算子，它作用在函数u上时定义为△pu=div(|▽u|p-2▽u).设u(x)是问题(1)的解，其对应的能量泛函记为E(Ω)=∫Ω|▽u|pdx.本章的结果是如下的Brunn-Minkowski不等式。　　 定理3.1.设Ω0和Ω1是凸区域。若令α=n+p(q+1)/p-1-q，则对任意的t∈[0，1]有(公式略)且等式成立当且仅当Ω0与Ω1位似。　　 第4章讨论与问题(1)的解U(x)相关的一些等周不等式以及先验估计。设Ω*是Ω的Schwarz对称重排，即Ω*是Rn中以原点0为中心且满足|Ω*|=|Ω|的球。若用h(x)表示如下问题的解(公式略)则本章的主要结论可叙述为：　　 定理4.2.1.1.若u(x)是问题(1)的解，则对于任意的k≥q+1有(公式略)以及(公式略)并且上面两式中的等号成立当且仅当Ω是一个球。　　 应用上述等周不等式，可得到问题(1)的解u(x)的最佳上界估计，该结论可表述为：　　 定理4.2.1.3.设u(x)为问题(1)的唯一解.则(公式略)且等号仅在Ω为球时才可能成立。　　 另外，在p=n且q=p-1时，本章还给出了一个已知的等周不等式的简化证明.详情参见本章第三节。　　 第5章讨论如下问题第一特征值的下界估计.(公式略)其中c(x)是一个非负有界函数。　　 设Ω*是Ω的Schwaxz对称重排，R*是Ω*的半径，ωn是Rn中单位球的体积。令α=ess.supx∈Ωc(x)，选取r满足αωn(Rn*-rn)=∫Ωc(x)dx.定义函数h(x)为(公式略)。　　 本章的结论可表述为如下定理：　　 定理5.1.λ1(Ω；c)≥λ1(Ω*；h)，其中λ1(Ω；c)表示问题(2)相应于Ω和c(x)的第一特征值，而λ1(Ω*；h)表示问题(2)相应于Ω*和h(x)的第一特征值。　　 这一结果可以作适当的推广，详情见本章的具体内容。　　 第6章考虑抛物P-Laplace方程初边值问题其中Ω是Rn中的有界光滑区域， n≥2，1＜p＜n，p-1＜q＜p*，p*=n(p-1)+p/n-p＞0，u0是定义在Ω上的非负连续函数。我们得到了此方程非负全局解的一致有界性的结论：　　 定理6.1.1.设u(x，t)是方程(3)在Ω×[0，∞)的解，则u(x，t)全局有界，即存在一个只与u0有关的常数M，使得对任意x∈Ω，t＞0，总有u(x，t)≤M，其中u0∈C(Ω)。