广义逆特征问题是指已知广义特征值、广义特征向量全体或其部分,已知矩阵部分子阵或部分元素,在满足一定条件的矩阵集合中构造出矩阵的问题.不同的矩阵集合类型导致了不同的广义逆特征问题.广义逆特征问题在结构设计、参数识别、主成分分析、结构动力学、分子光谱学、振动理论、有限元理论等领域都有重要应用.正是在这些领域中提出的许多不同类型的问题促进了广义逆特征问题理论的快速发展,使得广义逆特征问题成为当今数值代数领域中最活跃、最热门的研究课题之一.本篇博士论文研究了几类特殊结构Jacobi矩阵的广义逆特征问题及其应用,完成的主要工作和取得的研究成果如下:1 .针对矩阵的2x2分块形式,提出并讨论了第一类特殊结构Jacobi矩阵(固定-固定型Jacobi矩阵)的广义逆特征问题及其应用,即提出并研究了无约束、正交约束、系统总质量约束、能量约束的固定-固定型Jacobi矩阵的广义逆特征问题以及固定-固定型弹簧质点系统的系统总质量优化、能量优化的结构优化设计问题,研究获得了上述问题的可解性条件,给出了数值算法和算例。2 .针对矩阵的3x3分块形式,提出并讨论了第二类特殊结构Jacobi矩阵(固定-自由型Jacobi矩阵)的广义逆特征问题及其应用,即提出并研究了无约束、正交约束、系统总质量约束、能量约束的固定-自由型Jacobi矩阵的广义逆特征问题以及固定-自由型弹簧质点系统的系统总质量优化、能量优化的结构优化设计问题,研究获得了上述问题的可解性条件,给出了数值算法和算例。3 .针对矩阵的2x2分块形式,提出并讨论了第三类特殊结构Jacobi矩阵(周期型特殊结构Jacobi矩阵)的广义逆特征问题及其应用,研究获得了上述问题的可解性条件,给出了数值算法和算例。4 .针对矩阵的2x2和3x3分块形式,提出并研究了整数Jacobi矩阵(第四类特殊结构Jacobi矩阵)在有限域上的广义逆特征问题及其在HILL密码体系中的应用,研究获得具有数字签名功能的改进型HILL密码体系,给出了算法和算例。5 .研究了子系统固有频度顺序约束下的两类弹簧质点系统的结构设计问题,研究获得了问题的可解性条件和解的表达式。6 .就矩阵的3x3分块形式,利用矩阵的奇异值分解、广义奇异值分解和广义逆矩阵理论,研究了非顺序主子阵约束下的矩阵扩充问题及其最佳逼近问题,研究获得了问题有解的充分必要条件和解的表达式。